Z ROZWIĄZANIAMI · E8 I MATURA

Zadania z matematyki.

Wybierz temat i policz na kartce. Potem sprawdź odpowiedź i rozwiązanie. Bez konta.

Angelika SakMathematyczka

WYBIERZ TEMAT

Egzamin ósmoklasisty

Wymagania CKE i cztery działy przygotowań do E8

Działania i zastosowania ułamków

Dodawanie i odejmowanie ułamków — zadanie 1

Oblicz $3/4$ − $1/6$ . Który wynik jest poprawny?

Dodawanie i odejmowanie ułamków — zadanie 2

Oblicz $1/3$ + $1/6$ .

Mnożenie i dzielenie ułamków — zadanie 1

Oblicz $3/5$ · 10.

Mnożenie i dzielenie ułamków — zadanie 2

Oblicz $5/6$ : $10/9$ .

Dodawanie i odejmowanie ułamków — zadanie 3

Oblicz $2 1/4$ − $5/6$ .

Ułamek całości w zadaniu tekstowym — zadanie 1

Książka ma 64 strony. Ola przeczytała $3/8$ książki. Ile stron zostało jej do przeczytania?

Mnożenie i dzielenie ułamków — zadanie 3

Oblicz ( $−3/4$ + $5/6$ ) : $1/3$ .

Dwie kolejne części grupy wolontariuszy — zadanie 2

W akcji uczestniczyło 24 wolontariuszy. Najpierw $1/4$ z nich poszła do biblioteki. Potem $1/3$ pozostałych poszła do parku. Ile osób zostało na miejscu?

Ułamki między 3 a 5 — CKE maj 2024, zadanie 2

Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki: mianownik każdego z nich jest równy 4; licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika; każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5. Dokończ zdanie. Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest

Znak i porównanie dwóch ułamków — CKE maj 2024, zadanie 4

Dane są dwie liczby x i y zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych: x = $4/5$ · ( $−4/3$ ), y = $4/5$ + ( $−4/3$ ). Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Dzielenie wyrażenia z liczbą mieszaną — CKE maj 2025, zadanie 2

Dane jest wyrażenie (2,4 − $5 1/3$ ) : (−2). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość tego wyrażenia jest równa

Uzasadnienie postaci trzeciego ułamka — CKE maj 2025, zadanie 16

Liczbę $7/15$ zapisano w postaci sumy trzech ułamków zwykłych, z których jeden jest równy $1/5$ , a drugi $1/6$ . Uzasadnij, że trzeci składnik tej sumy można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, którego licznik jest równy 1, a mianownik jest liczbą całkowitą dodatnią. Zapisz obliczenia.

Kolejne połowy liczby 6 — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 2

Zapisywano kolejno liczby według następującej zasady: liczbę 6 zapisano jako pierwszą; każda następna zapisana liczba była połową liczby poprzedniej. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Piątą liczbą, którą zapisano, jest

Połowa trasy z jej dwóch trzecich — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 7

Jurek przejechał rowerem 12 km, co stanowiło $2/3$ długości zaplanowanej trasy. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Połowa zaplanowanej trasy ma długość

Dwa zakupy z kolejnych pozostałych kwot — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 17

Kamil otrzymał 300 złotych na zakup koszulki i torby sportowej. Na koszulkę wydał $1/5$ tej kwoty. Za torbę sportową zapłacił $3/5$ kwoty, która została mu po zakupie koszulki. Oblicz, ile złotych zostało Kamilowi po zakupach. Zapisz obliczenia.

Potęgi i pierwiastki

Potęga potęgi i działania na potęgach — zadanie 1

Jaka jest wartość wyrażenia $(2³)²$ : $2⁴$ ?

Potęga potęgi i działania na potęgach — zadanie 2

Oblicz $3⁴$ : $3²$ .

Obliczanie pierwiastków — zadanie 1

Oblicz $√81$ + $√16$ .

Minus i nawias przy potędze — zadanie 1

Oblicz $(−3)²$ .

Iloraz potęg jako potęga 2 — CKE maj 2025, zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia $8⁶$ : $4³$ zapisana w postaci potęgi liczby 2 jest równa

Obliczanie pierwiastków — zadanie 2

Oblicz $√(49/100)$ .

Potęga potęgi i działania na potęgach — zadanie 4

Oblicz $2²$ · $(2³)²$ .

Pierwiastek między liczbami całkowitymi — zadanie 1

Ile liczb naturalnych jest większych od 10 i mniejszych od $√130$ ?

Dwa prawa działań na potęgach — CKE maj 2024, zadanie 7

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Znaki wyrażeń z pierwiastkami — CKE maj 2025, zadanie 7

Dane są wyrażenia: K = $1/9$ · $√(1/16)$ − $1/16$ · $√(1/9)$ , L = 9 · $√16$ − 16 · $√9$ . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Iloczyn potęg i kwadrat ilorazu — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 2

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Porównywanie pierwiastków z4 — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 4

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Iloraz i iloczyn potęg 3 — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 4

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Procent części i udziału

Procent danej liczby — zadanie 1

Ile wynosi 20% liczby 85?

Udział procentowy części — zadanie 1

Jakim procentem całości jest $3/5$ tej całości?

Udział procentowy części — zadanie 2

Spośród 24 uczniów 6 dojeżdża do szkoły rowerem. Jaki procent tej grupy dojeżdża rowerem?

Procent danej liczby — zadanie 2

W pudełku jest 40 kredek. 30% z nich jest czerwonych, a pozostałe są niebieskie. Ile jest niebieskich kredek?

Procenty w dwóch grupach — zadanie 1

W pierwszej szkole 15% ze 120 uczniów wybrało koło teatralne, a w drugiej 10% z 80 uczniów. Ilu uczniów łącznie wybrało to koło?

Procent masy i wspólne jednostki — zadanie 1

Do mieszanki o masie 1,2 kg dodano już 180 g orzechów; są one częścią podanej masy 1,2 kg. Jaki procent masy tej mieszanki stanowią orzechy?

Procenty w dwóch grupach — zadanie 2

W grupie A jest 20 osób, z których 40% wybrało szachy. W grupie B jest 30 osób, z których 60% wybrało szachy. Jaki procent wszystkich 50 osób wybrał szachy?

Procent i ułamek budżetu — zadanie 1

Budżet wyjazdu wynosi 800 zł. Na nocleg przeznaczono 35% budżetu, a na przejazd $1/4$ budżetu. Ile złotych zostało na inne wydatki?

Odtwarzanie całości z procentu

Cena przed zmianą procentową — zadanie 1

Po obniżce ceny o 25% książka kosztuje 90 zł. Ile kosztowała przed obniżką?

Odtwarzanie całości z jej procentu — zadanie 1

30% pewnej liczby wynosi 18. Jaka to liczba?

Cena przed zmianą procentową — zadanie 2

Po obniżce o 20% kurtka kosztuje 80 zł. Ile kosztowała przed obniżką?

Cena przed zmianą procentową — zadanie 3

Po podwyżce o 10% opłata wynosi 220 zł. Ile wynosiła przed podwyżką?

Cena przed dwiema obniżkami — zadanie 1

Po dwóch kolejnych obniżkach, najpierw o 10%, a potem o 20% nowej ceny, plecak kosztuje 144 zł. Jaka była jego cena początkowa?

Liczba osób z udziału procentowego — zadanie 1

W ankiecie 35% uczestników, czyli 21 osób, wybrało odpowiedź A. Pozostali wybrali B. Ile osób wybrało B?

Całość z brakującej części lub obniżki — zadanie 1

Na zajęcia przyszło 80% zapisanych osób, a nieobecnych było 9. Ile osób zapisało się na zajęcia?

Całość z brakującej części lub obniżki — zadanie 2

Obniżka ceny o 15% wyniosła 36 zł. Ile wynosi cena po tej obniżce?

Wartości i przekształcanie wyrażeń

Wartość wyrażenia po podstawieniu — zadanie 1

Oblicz wartość 2x − 3 dla x = −4.

Redukcja wyrazów podobnych — zadanie 1

Uprość wyrażenie 5x + 2x − 3x.

Usuwanie nawiasów — zadanie 1

Usuń nawias w wyrażeniu 3(x + 4).

Wartość wyrażenia po podstawieniu — zadanie 2

Oblicz wartość wyrażenia 2 $x²$ − 3x dla x = −2.

Usuwanie nawiasów — zadanie 2

Uprość wyrażenie 4x − (2x − 7).

Nawiasy w wyrażeniu algebraicznym — CKE maj 2024, zadanie 9

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrażenie x(x + 4) − 3(2x − 5) można przekształcić równoważnie do postaci

Redukcja wyrazów podobnych — zadanie 2

Uprość wyrażenie 2 $x²$ + 3x − ( $x²$ − 4x + 6).

Wartość wyrażenia po podstawieniu — zadanie 3

Dla a = $−1/2$ i b = 3 oblicz 4 $a²$ + 2ab.

Redukcja wyrażenia z pięcioma odpowiedziami — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrażenie 2(a − 2b) − (a − b)(2 − b) + $b²$ można przekształcić równoważnie do postaci

Równania liniowe

Równanie z nawiasami — zadanie 1

Która liczba spełnia równanie 4(x − 2) = 20?

Równanie z jednym działaniem — zadanie 1

Rozwiąż równanie x + 7 = 12.

Równanie z jednym działaniem — zadanie 2

Rozwiąż równanie 3x = −15.

Niewiadoma po obu stronach równania — zadanie 1

Rozwiąż równanie 5x − 6 = 2x + 9.

Równanie z ułamkami — zadanie 1

Rozwiąż równanie $x/3$ + 2 = 7.

Równanie z nawiasami — zadanie 2

Rozwiąż równanie 2(3x − 1) = 4x + 8.

Równanie z ułamkami — zadanie 2

Rozwiąż równanie $(x − 1)/2$ − $(x + 1)/3$ = 1.

Niewiadoma po obu stronach równania — zadanie 2

Rozwiąż równanie 0,4x + 1,2 = 0,1x + 3.

Czas i jego jednostki

Zamiana jednostek czasu — zadanie 1

Jak zapisać 1 godzinę 24 minuty w godzinach w postaci dziesiętnej?

Zamiana jednostek czasu — zadanie 2

Ile minut trwa 0,75 godziny?

Zamiana jednostek czasu — zadanie 3

Zapisz 150 sekund w minutach.

Godzina rozpoczęcia i zakończenia — zadanie 1

Film rozpoczął się o 22:45 i trwał 1 godzinę 35 minut bez przerw. O której godzinie zakończył się film?

Godzina odjazdu pociągu — CKE maj 2024, zadanie 10

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa 2 godziny i 54 minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem o godzinie 17:31. Dokończ zdanie. Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie

Czas ćwiczeń i przerw — zadanie 1

Zawodnik wykonał trzy ćwiczenia po 1 minucie 40 sekund. Między ćwiczeniami były dwie przerwy po 30 sekund. Ile trwała cała seria od początku pierwszego ćwiczenia do końca trzeciego?

Godzina rozpoczęcia i zakończenia — zadanie 3

Pociąg wyjechał w poniedziałek o 23:38 i przyjechał we wtorek o 01:12. Ile minut trwała podróż?

Czas zapisany ułamkiem godziny — zadanie 1

Uczeń pracował przez $2/3$ godziny, a następnie przez $1/4$ godziny. Ile minut pracował łącznie?

Pełne nagrania w dwudziestu minutach — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 3

Martyna przez 20 minut słuchała kolejno nagrań ćwiczeń językowych. Czas odtwarzania nagrania każdego ćwiczenia w całości jest równy 250 sekund. Ile najwięcej ćwiczeń w całości Martyna mogła wysłuchać w tym czasie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Droga, czas i średnia prędkość

Średnia prędkość na odcinku — zadanie 1

Rowerzystka pokonała 9 km w 45 minut. Ile wynosiła jej średnia prędkość w km/h?

Droga przy stałej prędkości — zadanie 1

Samochód jedzie ze stałą prędkością 60 km/h przez 0,5 godziny. Jaką drogę pokona?

Średnia prędkość na odcinku — zadanie 2

Turysta przeszedł 12 km w 3 godziny. Jaka była jego średnia prędkość?

Droga przy stałej prędkości — zadanie 2

Pociąg jechał ze stałą prędkością 80 km/h przez 45 minut. Jaką drogę pokonał?

Czas pokonania drogi — zadanie 2

Trasa ma 18 km. Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością 12 km/h bez przerw. Ile minut potrwa przejazd?

Średnia prędkość z odpoczynkiem — zadanie 1

Rowerzysta przejechał 12 km w 40 minut, odpoczywał 20 minut, a następnie przejechał 8 km w 20 minut. Jaka była średnia prędkość całej wyprawy, łącznie z odpoczynkiem?

Średnia prędkość na dwóch odcinkach — zadanie 1

Samochód przejechał 60 km z prędkością 60 km/h, a kolejne 60 km z prędkością 120 km/h. Nie było przerw. Jaka była średnia prędkość na całej trasie?

Pole koła i długość okręgu

Pole koła ze średnicy — zadanie 1

Koło ma średnicę 12 cm. Jakie jest jego pole?

Długość okręgu z promienia — zadanie 1

Okrąg ma promień 5 cm. Jaka jest jego długość?

Wyznaczanie promienia koła — zadanie 1

Długość okręgu wynosi 18π cm. Jaki jest jego promień?

Pole jednej części koła — zadanie 1

Koło o promieniu 8 cm podzielono na cztery części o równych polach. Jakie pole ma jedna część?

Pole między dwoma okręgami — zadanie 1

Dwa koła mają wspólny środek oraz promienie 5 cm i 3 cm. Jakie pole ma obszar wewnątrz większego koła, ale poza mniejszym?

Pole koła wpisanego w kwadrat — zadanie 2

Koło jest wpisane w kwadrat o polu 36 $cm²$ : średnica koła ma długość boku kwadratu. Jakie jest pole koła?

Zmiana promienia a pole koła — zadanie 1

Promień nowego koła jest dwa razy większy od promienia poprzedniego. Ile razy pole nowego koła jest większe od pola poprzedniego?

Udział pola pierścienia — zadanie 1

Dwa koła mają wspólny środek i promienie 5 cm oraz 4 cm. Jaka część pola większego koła leży poza mniejszym kołem?

Twierdzenie Pitagorasa

Przeciwprostokątna z dwóch przyprostokątnych — zadanie 1

W trójkącie prostokątnym boki tworzące kąt prosty mają długości 5 cm i 12 cm. Ile wynosi długość boku leżącego naprzeciw kąta prostego?

Brakująca przyprostokątna — zadanie 1

Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną 10 cm i jedną przyprostokątną 6 cm. Jaką długość ma druga przyprostokątna?

Przekątna prostokąta — zadanie 1

Prostokąt ma boki 6 cm i 8 cm. Jaką długość ma jego przekątna?

Przekątna kwadratu — zadanie 1

Kwadrat ma bok 7 cm. Jaką długość ma jego przekątna?

Obwód trójkąta prostokątnego — zadanie 1

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne 9 cm i 12 cm. Ile wynosi jego obwód?

Drabina i twierdzenie Pitagorasa — zadanie 1

Drabina długości 13 m opiera się o pionową ścianę. Jej dolny koniec leży 5 m od ściany na poziomym podłożu. Na jakiej wysokości nad podłożem znajduje się górny koniec?

Pole prostokąta z obwodu i przekątnej — zadanie 1

Prostokąt ma obwód 34 cm i przekątną 13 cm. Jakie jest jego pole?

Odległość po dwóch prostopadłych przesunięciach — zadanie 1

Robot przesunął się 8 m na wschód, a następnie 15 m na północ. Odcinki ruchu były prostopadłe. Jak daleko w linii prostej znajduje się od miejsca startu?

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna — zadanie 1

Oblicz średnią arytmetyczną czterech liczb: 2; 4; 4; 10.

Średnia arytmetyczna — zadanie 2

Oblicz średnią arytmetyczną trzech liczb: 3; 6; 9.

Średnia przy powtarzających się wynikach — zadanie 1

Uczeń uzyskał cztery wyniki: 2; 2; 2; 6. Jaka jest ich średnia arytmetyczna?

Brakująca liczba i znana średnia — zadanie 1

Średnia arytmetyczna trzech liczb: 4; 7; x wynosi 6. Ile wynosi x?

Średnia po dodaniu pomiaru — zadanie 1

Średnia czterech pomiarów wynosi 5. Dodano piąty pomiar równy 10. Jaka jest średnia wszystkich pięciu pomiarów?

Średnia z liczebnościami — zadanie 1

W pięciu rzutach uzyskano jeden wynik 1, trzy wyniki 4 i jeden wynik 6. Jaka jest średnia wyników?

Średnia dwóch grup — zadanie 1

Średnia wyników 2 osób wynosi 8, a średnia wyników kolejnych 3 osób wynosi 3. Jaka jest średnia wyników całej pięcioosobowej grupy?

Średnia po usunięciu liczby — zadanie 1

Średnia pięciu liczb wynosi 12. Po usunięciu jednej liczby średnia pozostałych czterech wynosi 10. Jaką liczbę usunięto?

Średnia po dodaniu liczb — CKE maj 2024, zadanie 3

Średnia arytmetyczna trzech liczb: 12; 14; k jest równa 16. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Dwie średnie i wspólna suma — CKE maj 2025, zadanie 4

Średnia arytmetyczna czterech liczb a; b; c; d jest równa 9, a średnia arytmetyczna dwóch liczb e i f jest równa 6. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Średnia bez znajomości wszystkich składników — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 8

Dane są cztery liczby: x; y; z; a. Wiadomo, że x = 6, a = 4 oraz średnia arytmetyczna trzech liczb x; y; z jest równa 12. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczba stron z pięciodniowej średniej — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 1

Robert rozpoczął czytanie książki we wtorek i zakończył w sobotę. W tabeli podano liczbę stron, które Robert przeczytał w kolejnych dniach tygodnia od wtorku do piątku: wtorek — 55; środa — 68; czwartek — 72; piątek — 49. Od wtorku do soboty włącznie Robert czytał dziennie średnio 60 stron tej książki. Ile stron tej książki Robert przeczytał w sobotę? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo prostego losowania

Prawdopodobieństwo koloru kuli — zadanie 1

W nieprzezroczystym woreczku są 2 czerwone, 3 niebieskie i 5 zielonych kul jednakowych rozmiarów. Losujesz jedną kulę; każda ma taką samą szansę wyboru. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli?

Prawdopodobieństwo wyniku na kostce — zadanie 1

Rzucamy jeden raz uczciwą sześcienną kostką z liczbami od 1 do 6. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej od 4?

Prawdopodobieństwo przeciwnego koloru — zadanie 1

W woreczku są 4 czerwone i 6 zielonych kul, jednakowych poza kolorem. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie będzie czerwona?

Losowanie numerowanych kartoników — zadanie 1

Losujemy jeden z 12 jednakowych kartoników ponumerowanych od 1 do 12. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 3?

Losowanie po usunięciu kul — zadanie 1

W pudełku było 5 czerwonych i 3 niebieskie kule, jednakowe poza kolorem. Wyjęto i odłożono poza pudełko dwie czerwone kule. Losujemy jedną z pozostałych kul. Jakie jest prawdopodobieństwo niebieskiej?

Suma wyników dwóch kostek — zadanie 1

Rzucamy dwiema uczciwymi sześciennymi kostkami. Wyniki na kostkach są niezależne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich suma wyniesie 3?

Losowanie numerowanych kartoników — zadanie 2

Losujemy jeden z 20 jednakowych kartoników ponumerowanych od 1 do 20. Jakie jest prawdopodobieństwo, że numer jest podzielny przez 2 lub przez 5?

Liczba kul z prawdopodobieństwa — zadanie 1

W pudełku są tylko czerwone i niebieskie kule, jednakowe poza kolorem. Czerwonych jest 6, a prawdopodobieństwo czerwonej przy losowaniu jednej kuli wynosi $2/5$ . Ile jest kul niebieskich?

Pola figur i modelowanie objętości

Pole trójkąta — zadanie 1

Trójkąt ma podstawę 10 cm i wysokość opuszczoną na tę podstawę 6 cm. Jakie jest jego pole?

Pole prostokąta — zadanie 1

Prostokąt ma długość 8 cm i szerokość 5 cm. Jakie jest jego pole?

Objętość graniastosłupa — zadanie 1

Graniastosłup ma pole podstawy 12 $cm²$ i wysokość 5 cm. Jaką ma objętość?

Pole rombu z przekątnych — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 11

Dany jest romb, którego przekątne mają długość 24 cm i 18 cm. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego rombu jest równe

Objętość sześcianu z pola całkowitego — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 13

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 150 $cm²$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego sześcianu jest równa

Objętość ostrosłupa — zadanie 1

Ostrosłup ma pole podstawy 24 $cm²$ i wysokość 9 cm. Jaką ma objętość?

Wzór na objętość graniastosłupa trójkątnego — zadanie 1

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt prostokątny o obu przyprostokątnych długości a. Wysokość graniastosłupa także wynosi a, gdzie a > 0. Który wzór opisuje jego objętość?

Wzór na objętość ostrosłupa trójkątnego — zadanie 1

Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o obu przyprostokątnych długości a. Wysokość ostrosłupa wynosi $a/2$ , gdzie a > 0. Który wzór opisuje jego objętość?

Wydłużanie przyprostokątnych — CKE maj 2024, zadanie 14

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątną AC wydłużono o 7 cm, a przyprostokątną AB wydłużono o 12 cm i otrzymano trójkąt prostokątny równoramienny ADE o polu równym 200 $cm²$ (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Pola ścian ostrosłupa — CKE maj 2024, zadanie 15

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe P, a jedna ściana boczna ma pole równe $2/9$ · P. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Pole trapezu w prostokącie — CKE maj 2024, zadanie 17

Prostokąt ABCD podzielono na trzy trójkąty: AED, ACE, ABC (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości dwóch boków trójkąta AED oraz zaznaczono dwa kąty trójkąta ACE, o takiej samej mierze α. Oblicz pole trapezu ABCE. Zapisz obliczenia.

Różnica wysokości dwóch wież — CKE maj 2024, zadanie 19

Z trzech jednakowych klocków w kształcie sześcianu i jednego klocka w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego zbudowano dwie wieże (zobacz rysunek). Krawędź sześcianu ma długość 10 cm. Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 9 cm, a jego objętość jest równa 324 $cm³$ . Oblicz różnicę wysokości obu wież. Zapisz obliczenia.

Pole trójkąta z odcinkiem do środka boku — CKE maj 2025, zadanie 11

Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na środku boku AB zaznaczono punkt D. Następnie poprowadzono odcinek DC, dzielący trójkąt ABC na dwa trójkąty ADC i DBC. Ponadto AD = DB = 30 cm oraz DC = 50 cm (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Pole całkowite prostopadłościanu — CKE maj 2025, zadanie 15

Trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu mają długości: 5; 6; 7 (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe

Skala i stosunek pól tablic — CKE maj 2025, zadanie 19

Na ścianie wiszą dwie tablice: mała kwadratowa i duża prostokątna. Mała tablica narysowana w skali 1:20 jest kwadratem o boku 3 cm. Rzeczywiste wymiary dużej prostokątnej tablicy są równe 240 cm i 90 cm. Oblicz, ile razy pole dużej tablicy jest większe od pola małej tablicy. Zapisz obliczenia.

Pole czworokąta w podzielonym kwadracie — CKE maj 2025, zadanie 20

Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 15 cm. Każdy z boków AB i CD podzielono na trzy równe części, a każdy z boków AD i BC podzielono na pięć równych części. Na boku BC zaznaczono punkt E, na boku CD zaznaczono punkt F, a ponadto poprowadzono odcinki AE i AF (zobacz rysunek). Oblicz pole czworokąta AECF. Zapisz obliczenia.

Suma krawędzi ostrosłupa — CKE maj 2025, zadanie 21

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawędzi podstawy jest równa 12 cm (zobacz rysunek). Pole powierzchni jednej ściany bocznej tego ostrosłupa jest równe 108 $cm²$ . Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Pole kwadratu z obwodu sąsiedniego prostokąta — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 9

Prostokąt ABCD podzielono prostą EF na kwadrat AEFD i prostokąt EBCF (zobacz rysunek). Obwód prostokąta EBCF jest równy 36 cm, a długość boku EB jest równa 10 cm. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole kwadratu AEFD jest równe

Objętość graniastosłupa prawidłowego — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 13

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 7. Krawędź boczna tego graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego graniastosłupa jest równa

Pole trapezu z wysokością 12 cm — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 18

Na rysunku przedstawiono trapez równoramienny ABCD, w którym AD = BC = 13 cm. Wysokość DE oraz krótsza podstawa CD mają długość po 12 cm. Oblicz pole trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.

Pole boczne z siatki graniastosłupa — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 20

Na rysunku przedstawiono siatkę graniastosłupa prawidłowego czworokątnego oraz zapisano jeden z wymiarów tej siatki. Wysokość H tego graniastosłupa jest 1,5 razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.

Porównanie pola kwadratu i rombu — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 9

Dane są dwie figury: kwadrat K i romb R. Długość boku kwadratu K jest równa 8. Iloczyn długości przekątnych rombu R jest równy 64. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Pole i najdłuższy bok trapezu prostokątnego — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 12

Na rysunku przedstawiono trapez prostokątny oraz podano długości trzech jego boków. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Wymiary pudełka z ułamków jego krawędzi — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 15

Sześcienną kostkę o objętości 1 d $m³$ włożono do prostopadłościennego pudełka, którego krawędzie oznaczono literami a, b, c (zobacz rysunek). Długość krawędzi sześciennej kostki stanowi $1/3$ długości krawędzi a, $1/2$ długości krawędzi b i $2/5$ długości krawędzi c. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego pudełka jest równa

Pole trójkąta z obwodu i różnicy boków — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 20

Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 36 cm. Ramię tego trójkąta jest o 3 cm dłuższe od jego podstawy. Oblicz pole tego trójkąta. Zapisz obliczenia.

Objętość ostrosłupa z obwodu podstawy — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 21

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość 3,5 cm. Wysokość ostrosłupa jest o 8 cm mniejsza od obwodu jego podstawy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Odczytywanie i porównywanie danych

Łączna liczba z zestawienia — zadanie 1

Biblioteka odnotowała wypożyczenia: w poniedziałek 12 książek, we wtorek 18, w środę 15. Ile książek wypożyczono łącznie w tych trzech dniach?

Różnica wartości w zestawieniu — zadanie 1

Liczby głosów w ankiecie: basen — 14, kino — 23, muzeum — 9. O ile więcej głosów otrzymało kino niż muzeum?

Skala symboli na diagramie — zadanie 1

W opisie diagramu jeden symbol książki oznacza 5 wypożyczeń. Przy klasie 8A są 4 takie symbole. Ile wypożyczeń przedstawiono dla klasy 8A?

Udział procentowy z ankiety — zadanie 1

Zapis ankiety: piłka nożna — 12 osób, koszykówka — 8 osób, pływanie — 10 osób. Każda osoba wybrała jedną aktywność. Jaki procent ankietowanych wybrał koszykówkę?

Pozostała kwota w budżecie — zadanie 1

Zestawienie budżetu: dochód 1200 zł, żywność 380 zł, transport 160 zł, pozostałe wydatki 260 zł. Ile złotych dochodu pozostaje po odjęciu wszystkich wymienionych wydatków?

Porównywanie ceny za kilogram — zadanie 1

Porównujemy cenę za 1 kg. Opakowanie A zawiera 0,5 kg produktu i kosztuje 6 zł. Opakowanie B zawiera 0,75 kg tego produktu i kosztuje 8,25 zł. O ile cena za 1 kg w A jest wyższa niż w B?

Udział i punkty procentowe — zadanie 1

W szkole A 18 z 30 ankietowanych uczniów chodzi pieszo, a w szkole B 20 z 40. O ile punktów procentowych udział pieszych w A jest większy niż w B?

Udział po zmianie liczby uczestników — zadanie 1

W ankiecie były trzy rozłączne odpowiedzi: A — 12 osób, B — 8 osób, C — 10 osób. Do ankiety dołączyło 6 osób i wszystkie wybrały C. Jaka część wszystkich uczestników po tej zmianie wybrała C?

Modelowanie zależności i zadań tekstowych

Wyrażenie opisujące liczbę piłek — CKE maj 2025, zadanie 6

W pudełku znajdują się wyłącznie piłki białe, fioletowe i czarne. Piłek białych jest 4 razy więcej niż fioletowych i o 3 mniej niż czarnych. Liczbę piłek fioletowych oznaczymy przez x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Łączną liczbę wszystkich piłek w pudełku opisuje wyrażenie

Opłata stała i koszt kolejnych godzin — zadanie 1

Wypożyczenie roweru kosztuje 8 zł opłaty początkowej i 5 zł za każdą godzinę. Który wzór opisuje koszt K w złotych dla n pełnych godzin?

Równanie z treści zadania — zadanie 1

Dwa jednakowe zeszyty i długopis za 4 zł kosztowały łącznie 18 zł. Ile kosztował jeden zeszyt?

Równanie z treści zadania — zadanie 2

W klasie jest 28 uczniów. Dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ilu chłopców jest w klasie?

Wyznaczanie zmiennej ze wzoru — zadanie 1

Obwód pięciokąta o bokach a, a, b, b, c opisuje wzór L = 2a + 2b + c. Który wzór wyznacza a?

Proporcjonalne zwiększenie liczby porcji — zadanie 1

Do przygotowania 4 jednakowych porcji używa się 300 g mąki. Ile mąki potrzeba do 6 takich porcji?

Równanie z treści zadania — zadanie 3

Za 3 bilety ulgowe i 2 normalne zapłacono 64 zł. Bilet normalny kosztuje o 7 zł więcej niż ulgowy. Ile kosztuje bilet ulgowy?

Liczba patyczków w szeregu kwadratów — zadanie 1

Pierwsza figura z patyczków jest kwadratem z 4 patyczków. Każdy następny kwadrat dołączamy w jednym rzędzie i dzieli on dokładnie jeden bok z poprzednim. Ile patyczków wymaga 10 kwadratów?

Przekształcanie wzoru — CKE maj 2024, zadanie 6

Dane jest równanie 5x = $y/w$ , gdzie x, y, w są różne od 0. Zadaniem Pawła było przekształcanie tego równania tak, aby wyznaczyć x, y, w. Paweł otrzymał trzy równania: I. x = $y/(5w)$ ; II. y = $(5x)/w$ ; III. w = $y/(5x)$ . Które z równań I–III są poprawnymi przekształceniami równania 5x = $y/w$ ? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Farba i proporcjonalność prosta — CKE maj 2024, zadanie 11

Na wykresie przedstawiono zależność pola pomalowanej powierzchni od ilości zużytej farby. Pole pomalowanej powierzchni jest wprost proporcjonalne do ilości zużytej farby. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Dwa zestawy puzzli — CKE maj 2024, zadanie 16

Ela i Ania dostały w prezencie po jednym zestawie puzzli o takiej samej liczbie elementów. Ela ułożyła $2/5$ swoich puzzli, a Ania $1/3$ swoich. Dziewczynki ułożyły łącznie 440 elementów. Oblicz, z ilu elementów składa się jeden zestaw puzzli. Zapisz obliczenia.

Bok pięciokąta wyznaczony z obwodu — CKE maj 2025, zadanie 5

Obwód pięciokąta przedstawionego na rysunku wyraża się wzorem L = 2a + 2b + c. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wielkość a wyznaczoną poprawnie z podanego wzoru opisuje równanie

Plakaty trojga przyjaciół — CKE maj 2025, zadanie 17

Troje przyjaciół — Andrzej, Basia i Marek — zbiera plakaty. Andrzej ma o 28 plakatów więcej od Basi, a Marek ma ich 3 razy mniej od Basi. Andrzej i Marek mają razem 2 razy więcej plakatów od Basi. Oblicz, ile plakatów ma każde z tych przyjaciół. Zapisz obliczenia.

Uzasadnienie równoboczności trójkąta — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 17

Dany jest trójkąt ABC, w którym długości boków opisano za pomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek). Długość boku AC w tym trójkącie jest równa długości boku BC. Uzasadnij, że trójkąt ABC jest równoboczny. Zapisz obliczenia.

Ceny sprzętu narciarskiego — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 19

Marek kupił w sklepie sportowym kask narciarski, buty i narty. Kask kosztował 500 zł. Narty i kask kosztowały razem o 700 zł mniej niż narty i buty łącznie. Buty i kask kosztowały razem tyle co narty. Oblicz, ile kosztowały narty, a ile kosztowały buty, które kupił Marek w tym sklepie. Zapisz obliczenia.

Wyrażenie opisujące sumę wieku — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 11

Kasia jest 3 razy starsza od Ani. Ola jest o 2 lata starsza od Kasi. Oznaczymy przez x wiek Ani. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Łączny wiek Kasi, Ani i Oli opisuje wyrażenie

Jednostki prędkości i inne jednostki w praktyce

Przeliczanie jednostek prędkości — zadanie 1

Prędkość 5 m/s jest równa

Przeliczanie jednostek prędkości — zadanie 2

Prędkość 72 km/h jest równa

Zamiana jednostek długości — zadanie 1

Zapisz 2,4 km w metrach.

Porównywanie prędkości — zadanie 1

Rowerzysta A jedzie z prędkością 6 m/s, a B z prędkością 18 km/h. O ile większa jest prędkość A od B? Podaj wynik w km/h.

Zamiana jednostek pola — zadanie 1

Zapisz pole 0,3 $m²$ w $cm²$ .

Litry i centymetry sześcienne — zadanie 1

Zapisz objętość 1,25 litra w $cm³$ .

Przepływ w litrach na minutę — zadanie 1

Kranu nie zakręcano przez minutę. Woda płynęła ze stałą wydajnością 250 ml/s. Jaka jest ta wydajność w litrach na minutę?

Przeliczanie jednostek prędkości — zadanie 3

Pojazd porusza się z prędkością 0,9 km na minutę. Wyraź tę prędkość w m/s.

Droga, prędkość i czas

Czas przejazdu rowerzysty — CKE maj 2025, zadanie 9

Rowerzysta pokonał odcinek drogi o długości 100 m z prędkością 5 m/s. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rowerzysta pokonał ten odcinek drogi w czasie

Średnia prędkość na odcinku pomiarowym — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 14

Odcinkowy pomiar prędkości polega na wyznaczeniu średniej prędkości samochodu na określonym odcinku drogi. Na początku i na końcu takiego odcinka ustawiono znaki drogowe informujące o rozpoczęciu i zakończeniu pomiaru (zobacz rysunek). Samochód osobowy przejechał w 2 minuty taki odcinek drogi o długości 3 km. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyznaczona prędkość tego samochodu na objętym pomiarem odcinku drogi była równa

Porównanie czasu przejazdu dwóch osób — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 18

Kuba i Paweł wyruszyli o godzinie 8:44 ze szkoły na basen tą samą trasą o długości 7,5 km. Kuba wyruszył skuterem i dojechał na basen o 9:06. Paweł przejechał tę trasę rowerem elektrycznym z prędkością 18 km/h. Oblicz, który z chłopców przejechał tę trasę w krótszym czasie. Zapisz obliczenia.

Liczby i podzielność

Reszta z dzielenia przez 7 — CKE maj 2025, zadanie 3

Dane są liczby: 91; 92; 95; 97. Która z podanych liczb przy dzieleniu przez 7 daje resztę 1? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sok i ciastko w tej samej kolejce — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 16

Na festyn wpuszczano uczestników jednym wejściem. Pierwszy wchodzący otrzymał i sok, i ciastko. Następnie co szósty wchodzący otrzymywał sok, a co dziesiąty wchodzący otrzymywał ciastko. To znaczy, że sok otrzymali wchodzący: pierwszy, siódmy, trzynasty itd. A ciastko otrzymali wchodzący: pierwszy, jedenasty, dwudziesty pierwszy itd. Na festyn przyszło 450 osób. Oblicz, ilu uczestników tego festynu otrzymało i sok, i ciastko. Zapisz obliczenia.

Podzielność sumy i iloczynu — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 5

Dane są liczby: k = 69 oraz m = 83. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Własności liczb i oś liczbowa

Porównywanie liczb na osi — zadanie 1

Która z liczb −3; −0,4; 0; $−1/2$ jest największa?

Zaokrąglanie liczb — zadanie 1

Zaokrąglij 84,67 do liczby całkowitej.

Wspólne wielokrotności — zadanie 1

Jaka jest najmniejsza dodatnia liczba podzielna zarówno przez 18, jak i przez 24?

Najmniejszy dzielnik pierwszy liczby — zadanie 2

Jaki jest najmniejszy dzielnik pierwszy liczby 91?

Podział odcinka na osi liczbowej — zadanie 2

Na osi liczbowej punkt A ma współrzędną −7, a B współrzędną 5. Odcinek AB podzielono na cztery równe części. Punkt P leży o trzy takie części od A w stronę B. Jaka jest współrzędna P?

Wspólne wielokrotności — zadanie 2

Dwa dzwonki zadzwoniły jednocześnie o 8:00. Pierwszy dzwoni co 12 minut, drugi co 18 minut. Po ilu minutach zadzwonią znów jednocześnie?

Liczby całkowite w przedziale — zadanie 1

Ile liczb całkowitych x spełnia warunek −3 < x ≤ 4?

Zmiany procentowe

Cena po jednej zmianie procentowej — zadanie 1

Cena książki wynosi 80 zł. Obniżono ją o 15%. Jaka jest nowa cena?

Cena po jednej zmianie procentowej — zadanie 2

Opłata wynosiła 150 zł i wzrosła o 20%. Ile wynosi po podwyżce?

O ile procent zmieniła się wartość — zadanie 1

Liczba uczestników wzrosła z 40 do 50. O ile procent wzrosła względem początkowej liczby?

Dwie kolejne zmiany ceny — zadanie 1

Cena 200 zł została obniżona o 10%, a następnie nowa cena wzrosła o 10%. Jaka jest cena końcowa?

Dwie kolejne zmiany ceny — zadanie 2

Towar kosztował 250 zł. Obniżono cenę o 20%, a potem o kolejne 15% nowej ceny. Ile kosztuje po obu obniżkach?

O ile procent zmieniła się wartość — zadanie 2

Zużycie wody zmniejszyło się z 60 litrów do 48 litrów. O ile procent zmalało względem początkowego zużycia?

Porównanie dwóch promocji — zadanie 1

Ten sam towar kosztuje 300 zł przed promocją w obu sklepach. Sklep A daje obniżkę 30%. Sklep B daje dwie kolejne obniżki: 20%, potem 10% nowej ceny. O ile cena w sklepie B jest wyższa niż w A?

Powrót do ceny początkowej — zadanie 1

Cenę obniżono o 20%. O ile procent trzeba zwiększyć obniżoną cenę, aby wrócić do ceny początkowej?

Prędkość, droga, czas

Droga pieszego w 35 minut

Pieszy idzie ze stałą prędkością 4,8 km/h przez 35 minut. Oblicz drogę.

Średnia prędkość autobusu

Autobus pokonał 84 km w 1 godzinę 24 minuty. Oblicz średnią prędkość.

Czas przejazdu 30 kilometrów

Samochód jedzie ze stałą prędkością 72 km/h. Ile minut potrzebuje na 30 km?

Czas biegu na 1500 metrów

Uczeń biegnie 1500 m ze stałą prędkością 5 m/s. Oblicz czas w sekundach i minutach.

Średnia prędkość wycieczki z odpoczynkiem

Wycieczka pokonała 9 km w 2 godziny 15 minut ruchu, a po drodze odpoczywała 15 minut. Oblicz średnią prędkość całej wycieczki, razem z odpoczynkiem.

Jednostki czasu

45 minut jako część godziny

Zamień 45 minut na godziny.

1,4 godziny w godzinach i minutach

Zamień 1,4 godziny na godziny i minuty.

2 godziny 36 minut w zapisie dziesiętnym

Zamień 2 godziny 36 minut na godziny w zapisie dziesiętnym.

750 sekund w minutach i sekundach

Zamień 750 sekund na minuty i sekundy.

Godzina zakończenia seansu

Seans zaczął się o 17:48 i trwał 1 godzinę 37 minut. O której się skończył?

Podróż przez północ

Autobus odjechał o 23:35 i przyjechał o 01:10 następnej doby. Ile minut trwała podróż? Przyjmij brak zmiany czasu urzędowego.

Jednostki prędkości

90 km/h w metrach na sekundę

Zamień 90 km/h na m/s.

7,5 m/s w kilometrach na godzinę

Zamień 7,5 m/s na km/h.

180 metrów na minutę w dwóch jednostkach

Zamień 180 m/min na m/s, a potem na km/h.

1,2 km/min w kilometrach na godzinę

Zamień 1,2 km/min na km/h.

Porównanie 14 m/s i 48 km/h

Która prędkość jest większa: 14 m/s czy 48 km/h? Podaj różnicę w km/h.

Praca z arkuszem

Poprawianie błędu w zamianie czasu

Uczeń zapisał 1 h 30 min = 1,3 h. Nazwij błąd i popraw zapis.

Średnica zamiast promienia we wzorze na pole

Dla koła o średnicy 10 cm zapisano P = π · $10²$ . Nazwij błąd i popraw wynik.

Wybór działania w równaniu procentowym

W zadaniu 0,75x = 90 uczeń poprawnie ułożył równanie, ale dostał x = 67,5. Nazwij błąd i oblicz x.

Miniarkusz i diagnoza

Odejmowanie $5/6$ i $1/4$

Oblicz $5/6$ − $1/4$ i podaj wynik jako ułamek nieskracalny.

Cena plecaka przed obniżką

Po obniżce ceny o 15% plecak kosztuje 136 zł. Ile kosztował przed obniżką?

Potęga potęgi podzielona przez potęgę

Zapisz $(3²)³$ : $3⁴$ jako jedną potęgę, a następnie oblicz jej wartość.

Równanie 3(2x − 1) = 4x + 7

Rozwiąż równanie 3(2x − 1) = 4x + 7. Sprawdź wynik przez podstawienie.

Średnia prędkość na 12 kilometrach

Rowerzysta pokonał 12 km w 40 minut. Oblicz jego średnią prędkość w km/h.

Pole i obwód koła o średnicy 14 cm

Koło ma średnicę 14 cm. Oblicz jego pole i długość okręgu. Podaj wyniki z π.

Pojemność prostopadłościanu w litrach

Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary wewnętrzne 20 cm × 15 cm × 10 cm. Ile litrów wody mieści się w pełnym pudełku? Przyjmij 1 litr = 1000 $cm³$ .

Prawdopodobieństwo kuli, która nie jest zielona

W nieprzezroczystym woreczku są 4 czerwone, 3 niebieskie i 5 zielonych kul jednakowych rozmiarów. Losujesz jedną kulę; każda ma taką samą szansę wyboru. Oblicz prawdopodobieństwo, że kula nie będzie zielona.

Geometria

Pole koła i długość okręgu z promienia

Okrąg ma promień 6 cm. Oblicz jego długość i pole koła ograniczonego tym okręgiem.

Promień i średnica z pola koła

Pole koła wynosi 81π $cm²$ . Oblicz promień i średnicę.

8 obszarów E8

Ułamek zwykły minus liczba dziesiętna

Liczby i ułamki: oblicz $3/4$ − 0,35.

Równanie z nawiasem i odjętą liczbą

Algebra: rozwiąż równanie 2(3x − 1) − 5 = 11.

Czas przejazdu przy prędkości 12 km/h

Zależności: rowerzysta przejechał 36 km ze średnią prędkością 12 km/h. Ile trwała jazda?

Przyprostokątna i pole trójkąta

Geometria płaska: trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną 13 cm i przyprostokątną 5 cm. Oblicz drugą przyprostokątną i pole.

Objętość i pole powierzchni prostopadłościanu

Bryły: prostopadłościan ma wymiary 2 cm, 3 cm i 5 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej.

Średnia czterech liczb z karty E8

Dane: oblicz średnią arytmetyczną czterech liczb: 4; 6; 8; 10.

Odczytywanie danych i procenty

Czas nauki na diagramie — CKE maj 2024, zadanie 1

Ala codziennie uczyła się języka hiszpańskiego. Na diagramie przedstawiono, ile czasu przeznaczyła na naukę tego języka w kolejnych dniach tygodnia od poniedziałku do soboty. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Oszczędności odczytane z diagramu — CKE maj 2025, zadanie 1

Deskorolka kosztuje 180 zł. Na diagramie przedstawiono kwoty, które Aldona odłożyła w styczniu, w lutym, w marcu i w kwietniu na zakup deskorolki. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Liczby uczniów z diagramu procentowego — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 7

Uczniom klas ósmych zadano pytanie: Z którego portalu internetowego korzystasz najczęściej? Każdy z uczniów wskazał jeden portal. Procentowy rozkład udzielonych odpowiedzi uczniów przedstawiono na diagramie poniżej. Portal F wskazało 72 uczniów. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Kąty i własności figur

Kąty w trapezie — CKE maj 2024, zadanie 5

Dany jest trapez ABCD, w którym bok AB jest równoległy do boku DC. W tym trapezie poprowadzono odcinek EC równoległy do boku AD, podano miary dwóch kątów oraz oznaczono kąt α (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Kąt α ma miarę

Prostokąt podzielony na kwadraty — CKE maj 2024, zadanie 13

Na rysunku przedstawiono prostokąt o bokach długości a i b podzielony na sześć kwadratów. Dokończ zdanie. Stosunek długości boków a: b tego prostokąta jest równy

Obwód trapezu z kwadratu i rombu — CKE maj 2025, zadanie 13

Trapez ABCD podzielono na trzy figury: kwadrat AEGD, trójkąt EFG i romb FBCG (zobacz rysunek). Na rysunku podano również długości boków trójkąta EFG. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obwód trapezu ABCD jest równy

Trzy kąty trapezu — CKE maj 2025, zadanie 18

Na rysunku przedstawiono trapez ABCD, w którym kąt ABC ma miarę 48°. Odcinek EC dzieli ten trapez na równoległobok AECD i trójkąt EBC, w którym kąt BCE ma miarę 57° (zobacz rysunek). Oblicz miary kątów DAB, BCD, CDA trapezu ABCD. Zapisz obliczenia.

Kąt między prostymi równoległymi — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 10

Na rysunku przedstawiono proste a; b; c; d; e oraz zaznaczono miary niektórych kątów. Proste a, b, c są wzajemnie równoległe. Proste d i e są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie A leżącym na prostej b. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta α jest równa

Równoramienność i przystawanie trójkątów — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 12

Na rysunku przedstawiono dwa trójkąty: ABC i KLM, podano długości boków AC i KL oraz zaznaczono miary niektórych kątów. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Ocena trzech wniosków o kątach trójkąta — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 10

Karol wie, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, i na tej podstawie zapisał trzy wnioski. Wniosek 1: Skoro suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°, to trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych prostych ani dwóch kątów wewnętrznych rozwartych. Wniosek 2: Ponieważ trójkąt nie może mieć dwóch kątów wewnętrznych rozwartych, więc nie istnieje trójkąt rozwartokątny równoramienny. Wniosek 3: Jeśli suma miar dwóch kątów wewnętrznych trójkąta jest większa od 90°, to trzeci kąt wewnętrzny tego trójkąta jest ostry. Które z wniosków zapisanych przez Karola są prawdziwe? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo

Losowanie balonów bez zwracania — CKE maj 2024, zadanie 8

Karolina kupiła jedno pudełko balonów. W tabeli podano informacje dotyczące kolorów balonów oraz ich liczby w tym pudełku: czerwony — 10; niebieski — 8; zielony — 6; żółty — 8. Karolina wyjmowała losowo po jednym balonie z pudełka. Pierwsze dwa wyjęte balony były w kolorze czerwonym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzeci balon losowo wyjęty przez Karolinę będzie w kolorze czerwonym? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pusty los na loterii — CKE maj 2025, zadanie 10

Na loterię przygotowano 72 losy i ponumerowano je kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 72. Wygrywają losy o numerach od 1 do 9 i od 46 do 72. Pozostałe losy są puste. Ada jako pierwsza wyciąga jeden los. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia przez Adę losu pustego jest równe

Prawdopodobieństwo białej kuli — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 5

W pudełku znajdują się kule różniące się tylko kolorem: białe, czerwone i niebieskie. Kul białych jest pięć, kul czerwonych jest trzy razy więcej niż białych, a kul niebieskich jest o pięć mniej niż czerwonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Losowanie karty z figurą — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 6

W pudełku jest 18 kart jednakowej wielkości. Na każdej z nich narysowano jedną figurę geometryczną. Wśród tych kart jest pięć kart z narysowanym trójkątem równobocznym o boku długości 6 cm, są cztery karty z narysowanym kwadratem o boku długości 7 cm oraz jest dziewięć kart z narysowanym pięciokątem foremnym o boku długości 2 cm. Z pudełka wylosowano jedną kartę. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Układ współrzędnych

Przesunięcie punktu w układzie współrzędnych — CKE maj 2024, zadanie 12

W układzie współrzędnych (x; y) zaznaczono pięć punktów $P₁$ , $P₂$ , $P₃$ , $P₄$ oraz $P₅$ (zobacz rysunek). Wszystkie współrzędne tych punktów są liczbami całkowitymi. Punkt $P₁$ ma współrzędne(−1; −2). Dokończ zdanie. Jeżeli współrzędną x punktu $P₁$ zwiększymy o4, a współrzędną y tego punktu zwiększymy o3, to otrzymamy współrzędne punktu

Brakujący wierzchołek równoległoboku — CKE maj 2025, zadanie 14

W układzie współrzędnych (x; y) zaznaczono trzy punkty, które są wierzchołkami równoległoboku ABCD: A = (−3; −2), C = (4; 2), D = (−1; 2) (zobacz rysunek). Współrzędna x wierzchołka B, niezaznaczonego na rysunku, jest liczbą dodatnią. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Niezaznaczony na rysunku wierzchołek B tego równoległoboku ma współrzędne

Równoległobok i warunek rombu — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 14

W układzie współrzędnych (x; y) zaznaczono kolejne wierzchołki A i B pewnego czworokąta ABCD. Punkty A i B są punktami kratowymi. Pozostałe wierzchołki czworokąta mają współrzędne C = (3; $y_C$ ) oraz D = (−1; $y_D$ ), gdzie $y_C$ jest liczbą całkowitą dodatnią oraz $y_C$ = $y_D$ . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Procenty i obliczenia praktyczne

Przychód ze sprzedaży truskawek — CKE maj 2024, zadanie 18

Pan Jan sprzedał w swoim sklepie 120 kg truskawek. Połowę masy tych truskawek sprzedał w dużych opakowaniach,10% masy truskawek — w średnich, a pozostałe truskawki w małych opakowaniach. W tabeli podano informacje dotyczące sprzedaży: duże opakowanie — 1 kg za 18 zł; średnie —0,5 kg za 10 zł; małe —0,25 kg za 6 zł. Oblicz, jaką kwotę otrzymał pan Jan ze sprzedaży wszystkich truskawek. Zapisz obliczenia.

Liczba kostek lodu z wody — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 21

Urządzenie do produkcji kostek lodu nalewa wodę do jednakowych foremek w kształcie sześcianu o pojemności 8 $cm³$ . Wlana woda wypełnia 75% pojemności każdej foremki. Z jednej foremki zostanie wyprodukowana jedna kostka lodu. Oblicz, ile kostek lodu wyprodukuje to urządzenie z 3000 $cm³$ wody. Zapisz obliczenia.

Uzasadnienie różnicy cen po dwóch zmianach — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 16

Takie same hulajnogi są sprzedawane w sklepach A, B, C. W sklepie B cena hulajnogi stanowi 80% ceny hulajnogi w sklepie A. W sklepie C cena hulajnogi stanowi 120% ceny hulajnogi w sklepie B. Uzasadnij, że cena hulajnogi w sklepie C jest niższa od ceny hulajnogi w sklepie A. Zapisz obliczenia.

Liczby i oś liczbowa

Podział osi liczbowej — CKE maj 2025, zadanie 12

Na osi liczbowej zaznaczono punkty A, B i C. Odcinek AC jest podzielony na 6 równych części. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Nierówność zaznaczona na osi — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 6

Dana jest nierówność x ≥ −3. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających tę nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn współrzędnych z dwóch osi — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 19

Dane są dwie osie liczbowe (zobacz rysunek). Na pierwszej z nich zaznaczono punkty K, L, M oraz podano współrzędne punktów K i L. Odcinek KM jest podzielony na 9 równych części. Na drugiej osi liczbowej zaznaczono punkty P, R, S oraz podano współrzędne punktów P i S. Odcinek PS jest podzielony na 9 równych części. Oblicz iloczyn x · y. Zapisz obliczenia.

Jednostki i proporcje

Etykieta śmietany i jednostki masy — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 1

Poniżej zamieszczono fragment etykiety pewnego opakowania śmietany. Wartość odżywcza w 100 g produktu: tłuszcz — 18 g; węglowodany — 4 g; białko — 3 g; sól — 0,15 g. Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Koło i okrąg

Cięciwa, promień i długość okręgu — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 15

Dany jest okrąg O, którego średnica ma długość 20 cm. Odcinek AB ma długość 12 cm i jest cięciwą tego okręgu. Punkty A i B połączono z punktem S, który jest środkiem tego okręgu (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Równania pierwszego stopnia

Równanie z ułamkiem algebraicznym — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 8

Dane jest równanie 5 + $(1 − x)/2$ = 2(x − 1). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rozwiązaniem tego równania jest liczba

WYBIERZ TEMAT

Matura podstawowa

Wartość bezwzględna

Dwie wartości bezwzględne

Oblicz $|−8|$ − $|3 − 10|$ .

Równanie $|x − 4|$ = 6

Rozwiąż $|x − 4|$ = 6.

Równanie $|x + 2|$ = 3

Rozwiąż $|x + 2|$ = 3.

Równanie z mnożnikiem przy module

Rozwiąż 3 $|x − 2|$ − 6 = 9.

Wartość bezwzględna równa zero

Rozwiąż $|2x − 6|$ = 0.

Wartość bezwzględna równa liczbie ujemnej

Rozwiąż $|x + 7|$ = −1.

Nierówność $|x + 1|$ < 4

Dodatek: nierówności

Rozwiąż $|x + 1|$ < 4.

Nierówność $|x − 3|$ ≥ 2

Dodatek: nierówności

Rozwiąż $|x − 3|$ ≥ 2.

Czy moduł może być mniejszy od −2

Dodatek: nierówności

Czy $|x|$ ≤ −2 ma rozwiązanie? Uzasadnij.

Nierówność $|x − 5|$ < 2 na osi liczbowej — CKE sierpień 2023, zadanie 1

Dana jest nierówność $|x − 5|$ < 2. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ciąg arytmetyczny

Rozpoznawanie ciągu arytmetycznego

Sprawdź, które z trzech podanych czterowyrazowych ciągów są arytmetyczne: A: 5; 2; −1; −4. B: 3; 6; 12; 24. C: $7/3$ ; $7/3$ ; $7/3$ ; $7/3$ . Dla każdego arytmetycznego ciągu podaj różnicę i określ, czy jest rosnący, malejący czy stały.

Wyrazy ciągu z różnicą $3/4$

W ciągu arytmetycznym $a₁$ = −2 i r = $3/4$ . Wypisz cztery pierwsze wyrazy i oblicz $a₉$ .

Numer wyrazu i wzór ciągu

Ciąg jest określony wzorem $a_n$ = 11 − 2n dla każdego dodatniego całkowitego n. Wykaż, że jest arytmetyczny, i podaj $a₁$ oraz r. Który wyraz ma wartość −15? Czy 0 jest wyrazem tego ciągu? Uzasadnij odpowiedź.

Dwa wyrazy wyznaczają ciąg

W ciągu arytmetycznym $a₃$ = $7/2$ i $a₉$ = $−11/2$ . Wyznacz r i $a₁$ , a następnie zapisz wzór ogólny $a_n$ .

Parametr w trzech kolejnych wyrazach

Liczby 2x − 1; x + 5; 3x − 3 są w podanej kolejności trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz x, oblicz te trzy wyrazy i podaj różnicę r.

Ujemna różnica i suma dwunastu wyrazów

W ciągu arytmetycznym $a₁$ = 5 i r = −2. Oblicz $a₁₂$ oraz sumę $S₁₂$ pierwszych dwunastu wyrazów.

Liczba wyrazów przy znanej sumie

Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a₁$ = 3 i różnicę r = 2. Suma jego pierwszych n wyrazów wynosi 120. Wyznacz dodatnią całkowitą liczbę n i sprawdź wynik.

Pierwszy wyraz i różnica z dwóch sum

W ciągu arytmetycznym suma pięciu pierwszych wyrazów wynosi $S₅$ = 40, a suma dziesięciu pierwszych wyrazów wynosi $S₁₀$ = 155. Wyznacz $a₁$ , r i $a₈$ .

Miejsca w rzędach na widowni

Widownia ma 12 rzędów. W pierwszym rzędzie jest 18 miejsc, a w każdym następnym o 2 miejsca więcej niż w poprzednim. Ile miejsc jest w dwunastym rzędzie? Ile miejsc jest łącznie na całej widowni?

Rosnące wpłaty i próg oszczędności

Ola zaczyna odkładanie pieniędzy od 0 zł. Pod koniec pierwszego tygodnia odkłada 12 zł, a pod koniec każdego następnego tygodnia o 3 zł więcej niż tydzień wcześniej. Nie wypłaca pieniędzy i nie otrzymuje odsetek. Po ilu pełnych tygodniach po raz pierwszy będzie miała co najmniej 200 zł? Podaj także kwotę zgromadzoną wtedy.

Logarytmy

Suma logarytmów o podstawie 9 — CKE maj 2023, zadanie 4

Liczba $log₉$ 27 + $log₉$ 3 jest równa której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn i suma z logarytmem — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 3

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Różnica logarytmów — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $log₃$ 108 − 2 $log₃$ 2 jest równa

Różnica logarytmów — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $log₃$ 108 − 2 $log₃$ 2 jest równa

Logarytm o podstawie pierwiastkowej — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $log_(√3)$ 9 jest równa

Różnica logarytmów dwójkowych — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $log₂$ 96 − $log₂$ 3 jest równa

Potęgi

Potęgi z ujemnymi wykładnikami — CKE sierpień 2023, zadanie 5

Wartość wyrażenia $3⁻¹/((−1/9)⁻²)$ · 81 jest równa której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równania wymierne

Liczba rozwiązań równania wymiernego — CKE czerwiec 2023, zadanie 10

Równanie $((x² − 3x)(x + 2))/(x² − 4)$ = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie ile rozwiązań? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równania wielomianowe

Równanie wielomianowe trzeciego stopnia — CKE maj 2023, zadanie 9

Rozwiąż równanie 3 $x³$ − 2 $x²$ − 12x + 8 = 0. Zapisz obliczenia.

Kąty w okręgu

Kąt między przecinającymi się cięciwami — CKE czerwiec 2023, zadanie 23

Na łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie że ∠ADB = 20° i ∠DBC = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K. Miara kąta DKC jest równa której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Funkcja liniowa

Prosta prostopadła do wykresu funkcji liniowej — CKE czerwiec 2023, zadanie 26

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = −x + 1. Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P = (0; −1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f. Wzorem funkcji g jest który wzór? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Znaki współczynników funkcji liniowej z wykresu — CKE maj 2023, zadanie 13

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax + b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y). Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają które warunki? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Warunek na miejsce zerowe funkcji liniowej — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 11

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ( $1/2$ )x − k, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji f jest liczbą większą od 2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba k należy do przedziału

Przesunięcie wykresu funkcji liniowej w prawo — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 12

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = 5x. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) wykres funkcji f przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej g. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja g jest określona wzorem

Planimetria

Iloczyn długości przekątnych rombu — CKE maj 2023, zadanie 20

W rombie o boku długości 6 $√2$ kąt rozwarty ma miarę 150°. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Twierdzenie o dwusiecznej w trójkącie — CKE sierpień 2023, zadanie 23

W trójkącie ABC długość boku AC jest równa 3, a długość boku BC jest równa 4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Stosunek $|AD|$ : $|DB|$ jest równy której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 19

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10; 24; 26 (zobacz rysunek).

Kąt wpisany w okrąg opisany na dziesięciokącie — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 20

Na dziesięciokącie foremnym ABCDEFGHIJ opisano okrąg o środku w punkcie S (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta wpisanego AGD jest równa

Suma pól dwóch podobnych kwadratów — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 21

Kwadrat $K₂$ jest podobny do kwadratu $K₁$ w skali 5 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 78. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku kwadratu $K₁$ jest równa

Kąt wpisany i trójkąt z promieniami — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 19

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50° (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ABO jest równa

Podobne trójkąty w trójkącie równoramiennym — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 20

W trójkącie równoramiennym ABC dane są: $|AC|$ = $|BC|$ = 4 i $|AB|$ = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano taki punkt D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek BD ma długość

Twierdzenie cosinusów i pole trójkąta — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 21

Dany jest trójkąt ABC, w którym $|AB|$ = 11, $|BC|$ = 12 oraz $|∡ABC|$ = 60° (zobacz rysunek). Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Kąt wpisany i trójkąt z promieniami — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 16

Podobne trójkąty w trójkącie równoramiennym — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 17

Pole trójkąta z sinusa kąta — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 18

Dany jest trójkąt ABC, w którym $|AB|$ = 11, $|BC|$ = 12 oraz $|∡ABC|$ = 60° (zobacz rysunek). Pole trójkąta ABC jest równe

Twierdzenie o dwusiecznej — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 20

Dany jest trójkąt KLM, w którym $|KM|$ = a, $|LM|$ = b oraz a ≠ b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że $|KN|$ = c, $|NL|$ = d oraz $|MN|$ = e (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W trójkącie KLM prawdziwa jest równość

Pole równoległoboku z kąta — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 21

Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe

Kąt przy podstawie trójkąta promieni — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 22

W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42° (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BAS jest równa

Styczna, cięciwa i kąt środkowy — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 22

Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta rozwartego BOC jest równa

Pole rombu z przekątnej i kąta — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 23

W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole rombu ABCD jest równe

Promień z przecinających się cięciw — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 24

Dany jest okrąg O o środku w punkcie S. Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: $|PB|$ = 4, $|PC|$ = 8 oraz $|PD|$ = 5. Oblicz promień okręgu O. Zapisz obliczenia.

Kombinatoryka

Liczby czterocyfrowe bez powtarzających się cyfr — CKE sierpień 2023, zadanie 30

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest ile? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Trzycyfrowe liczby parzyste z jednym zerem — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 28

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest

Trzycyfrowe liczby nieparzyste z jednym zerem — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 27

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest

Trzycyfrowe liczby nieparzyste z jednym zerem — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 23

Kody z czterech różnych cyfr — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 27

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1; 3; 6; 8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich takich kodów jest równa

Numery CAN o różnych cyfrach — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 27

E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy −3. Zapisz obliczenia.

Wzory skróconego mnożenia

Różnica kwadratów wyrażeń z pierwiastkiem — CKE czerwiec 2023, zadanie 6

Liczba $(1 + √5)²$ − $(1 − √5)²$ jest równa której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo

Losowanie bez zwracania — suma jest dzielnikiem 8 — CKE czerwiec 2023, zadanie 32

Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych — od 1 do 8 — losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A. Zapisz obliczenia.

Prawdopodobieństwo nieujemnego iloczynu dwóch losowanych liczb — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 27

Dane są dwa zbiory: X = {−3; −2; −1; 0; 1; 2} oraz Y = {−2; −1; 0; 1}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy uporządkowaną parę liczb (x; y), gdzie x jest liczbą wylosowaną ze zbioru X oraz y jest liczbą wylosowaną ze zbioru Y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x; y), która będzie spełniać warunek x · y ≥ 0. Zapisz obliczenia.

Suma 11 w dwóch rzutach kostką — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 28

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek — od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie A polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa 11. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

Losowanie białej kuli ze stosunku liczebności — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 24

W pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czerwone. Kule różnią się jedynie kolorem. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 3 : 5. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

Suma podzielna przez trzy przy losowaniu z dwóch zbiorów — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 31

Dane są dwa zbiory: X = {1; 3; 5; 7; 9} oraz Y = {2; 4; 6; 8}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy uporządkowaną parę liczb (x; y), gdzie x jest liczbą wylosowaną ze zbioru X oraz y — liczbą wylosowaną ze zbioru Y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma x + y wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez 3.

Parzysta suma przy losowaniu ze zwracaniem — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 30

Dany jest pięcioelementowy zbiór K = {5; 6; 7; 8; 9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.

Nieparzysty iloczyn w dwóch rzutach — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 28

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek — od jednego oczka do sześciu oczek. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe

Nierówności liniowe

Nierówność liniowa i odwrócenie znaku — CKE maj 2023, zadanie 6

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności −2(x + 3) ≤ $(2 − x)/3$ jest który przedział? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Geometria analityczna

Równanie okręgu ze środka i promienia — CKE sierpień 2023, zadanie 26

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o środku S = (−1; 2) i promieniu 3. Okrąg O jest określony którym równaniem? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Długość przekątnej równoległoboku ze środka symetrii — CKE sierpień 2023, zadanie 28

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt A = (−1; −4) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt S = (2; 2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Punkt na prostej równoległej — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 22

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) dana jest prosta k o równaniu y = 5x + 7. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0; −4). Punkt o współrzędnych (p; 2) należy do prostej l. Oblicz p. Zapisz obliczenia.

Okrąg po symetrii względem osi Oy — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 23

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) dany jest okrąg O o równaniu O: $(x + 1)²$ + $(y − 2)²$ = 9. Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii osiowej względem osi Oy układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg K jest określony równaniem

Przekątna kwadratu ze środka i wierzchołka — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 22

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) dany jest kwadrat ABCD, w którym A = (4; −1). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie S = (1; 3). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przekątna kwadratu ABCD ma długość

Równoległość prostych z parametrem — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 23

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) proste k oraz l są określone równaniami k: y = (m − 2)x + 5 oraz l: y = −4x + (m + 3). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa

Równanie okręgu przechodzącego przez początek układu — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 24

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) punkt P = (0; 0) leży na okręgu O o środku w punkcie S = (2; 4). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg O jest określony równaniem

Równoległość prostych z parametrem — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 19

Przekątna kwadratu ze środka i wierzchołka — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 20

Trapez prostokątny we współrzędnych — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 34

W układzie współrzędnych (x; y) punkty A = (−2; −1), B = (0; 0) oraz C = (4; 8) są wierzchołkami trapezu prostokątnego ABCD o podstawach AB i CD. Kąt DAB jest prosty. Oblicz współrzędne punktu D oraz długość odcinka BD.

Prostopadłość prostych z parametrem — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 23

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) proste k oraz l są określone równaniami k: y = (m + 1)x + 7 oraz l: y = −2x + 7. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa

Bok równoległoboku ze środka przekątnych — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 24

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A = (−2; 6) oraz B = (10; 2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P = (6; 7). Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Prosta prostopadła przez dany punkt — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 18

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) dana jest prosta l o równaniu y = ( $3/2$ )x − $15/2$ . Prosta k jest prostopadła do prostej l i przechodzi przez punkt P = (6; 0). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta k ma równanie

Parametr prostych równoległych — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 19

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) dane są proste k oraz l o równaniach k: y = −( $1/2$ )x − 7 oraz l: y = (2m − 1)x + 13. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są równoległe, gdy

Okrąg styczny do osi Ox — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 20

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S = (4; −2). Okrąg O jest styczny do osi Ox układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg O jest określony równaniem

Pole trójkąta równobocznego we współrzędnych — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 21

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) punkty K = (−7; −2) oraz L = (−1; 4) są wierzchołkami trójkąta równobocznego KLM. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta KLM jest równe

Ciągi

Trzeci wyraz ciągu z potęgą $(−1)ⁿ$ — CKE sierpień 2023, zadanie 16

Ciąg ( $a_n$ ) jest określony wzorem $a_n$ = $(−1)ⁿ$ · $(n + 1)/2$ dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy której wartości? Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Suma wyrazów i własności ciągu kwadratowego — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 14

Ciąg ( $aₙ$ ) jest określony wzorem $aₙ$ = 3 $n²$ − 3n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1.

Różnica i suma ciągu arytmetycznego — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 15

W ciągu arytmetycznym ( $aₙ$ ), określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, dane są wyrazy: $a₁$ = 52 oraz $a₂₅$ = 2.

Parametr w trzywyrazowym ciągu geometrycznym — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 16

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzywyrazowy ciąg (4; m; m − 1) jest geometryczny, gdy liczba m jest równa

Ciąg określony rekurencyjnie — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 14

Ciąg ( $a_n$ ) jest określony następująco: $a₁$ = 2 oraz $a_(n+1)$ = 2 $a_n$ + 1 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Wykonaj oba podzadania.

Malejący ciąg arytmetyczny z parametrem — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 15

Wyznacz wartość m, dla której trzywyrazowy ciąg (2m + 11; $m²$ + 3; 5 − m) jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 16

Dany jest ciąg geometryczny ( $a_n$ ) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym $a₁$ = 27 oraz $a₂$ = 9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Czwarty wyraz ciągu ( $a_n$ ) jest równy

Liczba ujemnych wyrazów ciągu — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 11

Ciąg ( $a_n$ ) jest określony wzorem $a_n$ = (n + 3)(n − 5) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Liczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa

Czwarty wyraz ciągu geometrycznego — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 12

Parametr ciągu arytmetycznego — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 29

Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trzywyrazowy ciąg (2m + 11; $m²$ + 3; 5 − m) jest arytmetyczny.

Znaki i wartości ciągu z potęgą minus jeden — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 15

Ciąg ( $a_n$ ) jest określony wzorem $a_n$ = $(−1)^n$ · (n − 5) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Monotoniczność i parametr ciągu geometrycznego — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 16

Trzywyrazowy ciąg (12; 6; 2m − 1) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest … oraz …

Różnica ciągu z wyrazu i sumy — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 17

Ciąg arytmetyczny ( $a_n$ ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy −1, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa −165. Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 13

Ciąg arytmetyczny ( $a_n$ ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. W tym ciągu $a₂$ = 4 oraz $a₃$ = 9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu ( $a_n$ ) jest równy

Odzyskiwanie wyrazów z sum początkowych — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 14

Ciąg ( $a_n$ ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem $S_n$ = 4 · ( $2^n$ − 1) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Parametr trzywyrazowego ciągu geometrycznego — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 15

Trzywyrazowy ciąg (1 − 2a; 12; 48) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba a jest równa

Równania i nierówności

Iloczyn rozwiązań równania z wartością bezwzględną — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 1

Liczby $x₁$ i $x₂$ są różnymi rozwiązaniami równania $|x − 6|$ = 4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloczyn $x₁$ · $x₂$ jest równy

Największa liczba całkowita spełniająca nierówność — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 6

Dana jest nierówność 8 − $(1 − 2x)/2$ ≥ 3x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Liczba rozwiązań równania iloczynowego — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie 4 $(x − 1)²$ ( $x²$ − 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Nierówność kwadratowa z iloczynem — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 9

Rozwiąż nierówność x(x + 4) < x − 2. Zapisz obliczenia.

Nierówność i oś liczbowa — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 6

Dana jest nierówność 3 − 2(1 − 2x) ≥ 2x − 17. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie iloczynowe w liczbach rzeczywistych — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie 2x(x + 3)( $x²$ + 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Nierówność kwadratowa — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 10

Rozwiąż nierówność 3(2 $x²$ + 1) < 11x. Zapisz obliczenia.

Nierówność i oś liczbowa — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 6

Równanie iloczynowe w liczbach rzeczywistych — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie 2x(x + 3)( $x²$ + 25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Nierówność kwadratowa — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 26

Rozwiąż nierówność 3(2 $x²$ + 1) < 11x. Zapisz obliczenia.

Wartość bezwzględna na osi liczbowej — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 1

Dana jest nierówność $|x − 1|$ ≥ 3. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Nierówność liniowa z ułamkami — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 6

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 − ( $3/2$ )x < $2/3$ − x jest przedział

Zerowanie ułamka algebraicznego — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie $(x + 1)/((x + 2)(x − 3))$ = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych

Równanie sześcienne przez grupowanie — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 9

Rozwiąż równanie $x³$ − 2 $x²$ − 3x + 6 = 0. Zapisz obliczenia.

Przedział i nierówność z wartością bezwzględną — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 4

Na osi liczbowej zaznaczono przedział (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

Rozwiązanie układu dwóch równań — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 6

Dany jest układ równań x − 3y + 5 = 0 oraz 2x + y + 3 = 0. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

Równanie sześcienne przez wspólny czynnik — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 9

Rozwiąż równanie 2 $x³$ + 3 $x²$ = 10x + 15. Zapisz obliczenia.

Potęgi i pierwiastki

Potęga i pierwiastek trzeciego stopnia — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 256 · $∛(8²)$ jest równa

Kwadrat sumy z pierwiastkiem — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(√3 + 1)²$ − $√12$ jest równa

Kwadrat różnicy pierwiastków — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(√32 − √2)²$ jest równa

Iloraz sumy potęg — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(5¹² + 5¹³ + 5¹⁴)/5¹²$ jest równa

Kwadrat różnicy pierwiastków — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(√32 − √2)²$ jest równa

Iloraz sumy potęg — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 3

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(5¹² + 5¹³ + 5¹⁴)/5¹²$ jest równa

Iloczyn potęg o wspólnej podstawie — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(1/16)⁸$ · $8¹⁶$ jest równa

Potęgi o wykładnikach wymiernych — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 1

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(3^(−2,4) · 3^(2/5))^(1/2)$ jest równa

Dowody algebraiczne

Dowód podzielności różnicy kwadratów przez 5 — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba $a²$ − $b²$ jest podzielna przez 5.

Procenty i modele algebraiczne

Liczba drzew w dwóch sadach po ubytkach — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 8

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.

Funkcje

Własności funkcji określonej trzema wzorami — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 10

Funkcja f jest określona następująco: f(x) = −x − 2 dla x ∈ (−5; −2]; f(x) = 0 dla x ∈ (−2; 1]; f(x) = x dla x ∈ (1; 3]. Wykres funkcji y = f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) na rysunku. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Odczytywanie funkcji określonej przedziałami — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 11

Funkcja f jest określona następująco: f(x) = x + 5 dla x ∈ [−4; −2], f(x) = 3 dla x ∈ (−2; 2] oraz f(x) = −3x + 9 dla x ∈ (2; 4). Wykres przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y). Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie przedziały.

Parabola o wierzchołku (3; 6) — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 12

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne (3; 6). Ta parabola przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0; 3). Wykonaj wszystkie podzadania.

Funkcja liniowa bez miejsca zerowego — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 13

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (3 − m)x − 4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f nie ma miejsca zerowego dla m równego

Dziedzina funkcji z wykresu — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 8

Na rysunku, w układzie współrzędnych (x; y), przedstawiono wykres funkcji f. Dziedziną funkcji f jest przedział

Przedział wzrostu z wykresu — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 9

Na rysunku, w układzie współrzędnych (x; y), przedstawiono wykres funkcji f. Funkcja f jest rosnąca w przedziale

Funkcja liniowa bez miejsca zerowego — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 10

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (3 − m)x − 4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f nie ma miejsca zerowego dla m równego

Wyraz wolny funkcji kwadratowej — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 32

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = a $x²$ + bx + c. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział (−∞; 6]. Parabola, która jest wykresem funkcji f, przechodzi przez punkty A = (−1; 3) i B = (5; 3). Oblicz wartość współczynnika c.

Układ równań z dwóch prostych na wykresie — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 11

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y), przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Warunek malejącej funkcji liniowej — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 12

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = (−2k + 3)x + k − 1, gdzie k ∈ R. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału

Wspólne miejsce zerowe dwóch funkcji — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 13

Funkcje liniowe f oraz g, określone wzorami f(x) = 3x + 6 oraz g(x) = ax + 7, mają to samo miejsce zerowe. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy

Parabola i przekształcenia jej wykresu — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 14

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. Wykonaj wszystkie cztery podzadania.

Miejsce zerowe i przecięcie z osią Oy — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 10

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = −( $1/6$ )x + $2/3$ . Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Parabola z całkowitymi współrzędnymi — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 11

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. Wykonaj wszystkie cztery podzadania.

Temperatura w modelu wykładniczym — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 12

Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 22 °C opisuje funkcja wykładnicza T(x) = 78 · $2^(−0,05x)$ + 22, gdzie T(x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po x minutach liczonych od momentu x = 0, w którym zioła zalano wrzątkiem. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa

Funkcja kwadratowa

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 13

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2; 15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x = −1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Trygonometria

Uproszczenie wyrażenia trygonometrycznego — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 17

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $(sin³25° + sin25° · cos²25°)/cos25°$ jest równa

Cosinusy kątów ostrych w trójkącie prostokątnym — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 18

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β (zobacz rysunek). Sinus kąta α jest równy $4/7$ . Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Cosinus z równania trygonometrycznego — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 17

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $√3$ · $tg α$ = 2 $sin α$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta α jest równy

Funkcje trygonometryczne w trójkącie ze środkową — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 18

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a środkowa CD ma długość 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC przez β (zobacz rysunek). Wykonaj oba podzadania.

Cosinus z równania trygonometrycznego — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 13

Kąt α jest ostry i spełnia warunek $√3$ · $tg α$ = 2 $sin α$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta α jest równy

Tangens kąta w trójkącie ze środkową — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 14

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, punkt D jest środkiem przyprostokątnej AB oraz $|AB|$ = 6 i $|CD|$ = 5. Oznaczmy kąt ADC przez α, natomiast kąt ABC przez β (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy

Sinus kąta w trójkącie ze środkową — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 15

Znaki funkcji trygonometrycznych w drugiej ćwiartce — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 18

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że $tg α$ = −3 oraz 90° < α < 180° (zobacz rysunek). Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery. Prawdziwe są zależności: … oraz …

Tożsamość z sinusem i cosinusem — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 19

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba $sin³20°$ + $cos²20°$ · $sin 20°$ jest równa

Kąty we współrzędnych z tangensa i cosinusa — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 16

Dane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki: α ∈ (0°; 180°) i $tg α$ = $−2/3$ oraz β ∈ (0°; 180°) i $cos β$ = $1/√10$ . Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) zaznaczono różne kąty, w tym kąty α oraz β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F. Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe odpowiedzi spośród liter A–F.

Tangens z sinusa kąta ostrego — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 17

Kąt α jest ostry oraz $sin α$ = $√5/3$ . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy

Stereometria

Objętość prostopadłościanu z krawędziami w ciągu geometrycznym — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 24

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.

Krawędź podstawy ostrosłupa z danych pól — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 25

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Wysokość stożka z tworzącej i kąta rozwarcia — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 26

Tworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego stożka jest równa

Objętość stożka z kąta rozwarcia — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 25

Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Przekątna sześcianu z objętości — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 26

Objętość sześcianu jest równa 729. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Przekątna sześcianu z objętości — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 21

Objętość sześcianu jest równa 729. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 22

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa 10. Wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S do krawędzi podstawy AB tego ostrosłupa jest równa

Objętość i powierzchnia stożka — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 33

Tworząca stożka ma długość 8. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 120°. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 25

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15 $√3$ . Wykonaj oba podzadania.

Pola powierzchni podobnych ostrosłupów — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 26

Ostrosłup $F₁$ jest podobny do ostrosłupa $F₂$ . Objętość ostrosłupa $F₁$ jest równa 64. Objętość ostrosłupa $F₂$ jest równa 512. Uzupełnij zdanie, wpisując odpowiednią liczbę. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F₂$ do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa $F₁$ jest równy …

Suma odległości punktu od ścian sześcianu — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 25

Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma odległości punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEFGH jest równa

Wysokość ściany ostrosłupa z objętości — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 26

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że $tg α$ = $4/3$ (zobacz rysunek). Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Statystyka

Średnia po powieleniu i przeskalowaniu liczb — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 29

Średnia arytmetyczna trzech liczb: a; b; c jest równa 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2a; 3a; 2b; 3b; 2c; 3c jest równa

Średnia, mediana i dominanta wyników klasy — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 30

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki. Liczba punktów: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Liczba uczniów, którzy otrzymali daną liczbę punktów, odpowiednio: 4; 2; 5; 5; 11; 5. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.

Suma niewiadomych ze średniej — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 29

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1; 2; 3; 4; 5; x; y jest równa 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma x + y jest równa

Mediana i dominanta ocen z diagramu — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 30

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej 24 uczniów. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Uzupełnij zdania, wpisując odpowiednie liczby.

Suma niewiadomych ze średniej — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 25

Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: 1; 2; 3; 4; 5; x; y jest równa 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma x + y jest równa

Średnia i mediana ocen z diagramu — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 30

Powtórzenie liczb a średnia — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 28

Średnia arytmetyczna trzech liczb: a; b; c jest równa 9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a; a; b; b; c; c jest równa

Mediana ocen z diagramu — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 29

Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa

Norma jakości jabłek i dominanta — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 29

W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19 dag; 21 dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek. Na osi poziomej podano masę jabłka w dekagramach, w zaokrągleniu do pełnych dekagramów, a na osi pionowej liczbę jabłek o określonej masie. Wykonaj oba podzadania.

Optymalizacja

Obniżka ceny maksymalizująca roczny zysk — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 31

Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem Z(x) = (500 + 50x)(16 − x), gdzie x — kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x ≥ 1 i x ≤ 14; Z — roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego

Największa powierzchnia prostopadłościanu — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 31

Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Trzy wybiegi o największym polu — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 31

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Linią przerywaną na schemacie zaznaczono siatkę. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Okno trapezowe o największym polu — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 30

Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

Wyrażenia algebraiczne

Różnica kwadratów dwumianów — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia $(3x + 2)²$ − $(2x − 3)²$ jest równa wartości wyrażenia

Skracanie iloczynu wyrażeń wymiernych — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 8

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od −2 oraz różnej od 0 wartość wyrażenia ( $(x² + x)/(x² + 4x + 4)$ ) · ( $(x + 2)/x$ ) jest równa wartości wyrażenia

Różnica kwadratów dwumianów — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wyrażenia $(3x + 2)²$ − $(2x − 3)²$ jest równa wartości wyrażenia

Dowód ostrej nierówności kwadratowej — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 27

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 5 $x²$ + 2 $y²$ > 2xy.

Różnica kwadratów sumy i różnicy — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia $(2a + b)²$ − $(2a − b)²$ jest równa wartości wyrażenia

Rozkład wielomianu i sprawdzanie pierwiastka — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 8

Dany jest wielomian W(x) = 3 $x³$ + 6 $x²$ + 9x. Oceń prawdziwość stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F — jeśli jest fałszywe.

Skracanie iloczynu ułamków algebraicznych — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od −3 i −2 wartość wyrażenia ( $(x + 3)/(x² + 4x + 4)$ ) · ( $(x² + 2x)/(2x + 6)$ ) jest równa wartości wyrażenia

Twierdzenie o reszcie i parametr wielomianu — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 8

Dany jest wielomian W(x) = −3 $x³$ − $x²$ + kx + 1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W(x) = (x + 1) · Q(x) dla pewnego wielomianu Q. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba k jest równa

Liczby i podzielność

Podzielność dla nieparzystego n — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 5

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3 $n²$ + 2n + 7 jest podzielna przez 4.

Reszta sumy kwadratów kolejnych liczb — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 3

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba $n²$ + $(n + 1)²$ + $(n + 2)²$ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Podzielność przez cztery dla nieparzystej liczby całkowitej — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 5

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3 $n²$ + 4n + 1 jest podzielna przez 4.

Procenty i modele

Podział budżetu dwóch zespołów — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 9

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę 1 200 000 złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie 146 700 złotych — zespół A wykorzystał 13% przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał 11% przyznanych mu środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.

Odwrócony procent liczby — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 1

Dodatnia liczba a stanowi 80% liczby b. Liczba b stanowi

Podział budżetu dwóch zespołów — CKE maj 2025, Formuła 2015, zadanie 28

Model procentowy dwóch sadów — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 10

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych — odpowiednio — w pierwszym i drugim sadzie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

Kapitał początkowy lokaty dwuletniej — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 3

Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 4851 zł (bez uwzględnienia podatków). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa