Matura podstawowa — Formuła 2023 · Optymalizacja
Trzy wybiegi o największym polu — CKE maj 2024, Formuła 2023, zadanie 31
Jak szukać maksimum funkcji kwadratowej w zadaniu z treścią?
W optymalizacji szukasz największej lub najmniejszej wartości funkcji w dziedzinie wynikającej z treści zadania. Dla funkcji kwadratowej sprawdź wierzchołek, jeśli jest dopuszczalny, i pozostałe wartości wymagane przez granice dziedziny lub całkowitość zmiennej.
TWOJA PRÓBA
Treść zadania
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Linią przerywaną na schemacie zaznaczono siatkę. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
PO WŁASNYCH OBLICZENIACHOdpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź
x = 4,5 m; y = 3 m.
Rozwiązanie krok po kroku
Na rysunku x oznacza wysokość jednego prostokąta, a y jego szerokość. Siatkę tworzą cztery odcinki długości x i dwa odcinki długości 3y.
Warunek długości siatki: 4x + 6y = 36, czyli y = 6 − ()x. Dodatnie wymiary wymagają 0 < x < 9.
Łączne pole P(x) = 3xy = 3x(6 − ()x) = −2 + 18x.
Ramiona paraboli są skierowane w dół. Wierzchołek ma argument x = = 4,5.
Wtedy y = 6 − () · 4,5 = 3. Maksymalne łączne pole wynosi 40,5 .
Źródła i kontekst
- Publiczne archiwalne opracowanie Mathematyczki (PDF)
Źródłowy PDF pozostaje dostępny; rozwiązanie HTML przeliczono niezależnie.
- Oryginalny arkusz CKE — maj 2024, Formuła 2023
Rok, sesję, formułę i treść zweryfikowano wewnątrz dokumentu.