Matura podstawowa · Ciąg arytmetyczny
Numer wyrazu i wzór ciągu
Co wyróżnia ciąg arytmetyczny?
W ciągu arytmetycznym różnica między każdym wyrazem a poprzednim jest stała i wynosi r. Dla dodatniego całkowitego numeru n korzystasz z = + (n − 1)r, rozróżniając numer wyrazu n od jego wartości .
TWOJA PRÓBA
Treść zadania
Ciąg jest określony wzorem = 11 − 2n dla każdego dodatniego całkowitego n. Wykaż, że jest arytmetyczny, i podaj oraz r. Który wyraz ma wartość −15? Czy 0 jest wyrazem tego ciągu? Uzasadnij odpowiedź.
PO WŁASNYCH OBLICZENIACHOdpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź
= 9; r = −2; = −15; 0 nie jest wyrazem ciągu
Rozwiązanie krok po kroku
Sprawdzamy różnicę kolejnych wyrazów dla dowolnego dodatniego całkowitego n. Przy szukaniu numeru wyrazu rozwiązanie musi być dodatnią liczbą całkowitą.
Dla dowolnego n ≥ 1 kolejny wyraz ma wartość 11 − 2(n + 1).
Różnica kolejnego i poprzedniego wyrazu wynosi 11 − 2(n + 1) − (11 − 2n) = −2.
Nie zależy od n, więc ciąg jest arytmetyczny o r = −2. = 11 − 2 · 1 = 9.
Z równania 11 − 2n = −15 otrzymujemy −2n = −26, czyli n = 13.
Sprawdzenie: = 11 − 26 = −15.
Natomiast 11 − 2n = 0 daje n = .
To nie jest liczba całkowita, więc 0 nie jest wyrazem ciągu.
Źródła i kontekst
- CKE: Informator maturalny z matematyki — poziom podstawowy
Informator od roku szkolnego 2024/2025; wymagania działu VI. Ciągi, m.in. sprawdzanie arytmetyczności i wykorzystanie własności ciągów. Przykłady nie wyczerpują zakresu egzaminu.
- CKE: Wybrane wzory matematyczne — Formuła 2023
Dział 8. Ciągi, strona 9: wzór ogólny, suma i zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.