Matura podstawowa · Ciąg arytmetyczny
Liczba wyrazów przy znanej sumie
Co wyróżnia ciąg arytmetyczny?
W ciągu arytmetycznym różnica między każdym wyrazem a poprzednim jest stała i wynosi r. Dla dodatniego całkowitego numeru n korzystasz z = + (n − 1)r, rozróżniając numer wyrazu n od jego wartości .
TWOJA PRÓBA
Treść zadania
Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz = 3 i różnicę r = 2. Suma jego pierwszych n wyrazów wynosi 120. Wyznacz dodatnią całkowitą liczbę n i sprawdź wynik.
PO WŁASNYCH OBLICZENIACHOdpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź
n = 10
Rozwiązanie krok po kroku
Zapisujemy ostatni wyraz jako funkcję n, a potem wzór na sumę. Z rozwiązań równania wybieramy tylko dodatnią całkowitą liczbę wyrazów.
Najpierw = 3 + 2(n − 1) = 2n + 1.
Stąd = · n = n(n + 2).
Równanie n(n + 2) = 120 daje + 2n − 120 = 0, czyli (n − 10)(n + 12) = 0.
Otrzymujemy n = 10 albo n = −12.
Odrzucamy −12, bo liczba wyrazów musi być dodatnia.
Dla n = 10 ostatni wyraz to = 21, a = · 10 = 120.
Odpowiedź: n = 10.
Źródła i kontekst
- CKE: Informator maturalny z matematyki — poziom podstawowy
Informator od roku szkolnego 2024/2025; wymagania działu VI. Ciągi, m.in. sprawdzanie arytmetyczności i wykorzystanie własności ciągów. Przykłady nie wyczerpują zakresu egzaminu.
- CKE: Wybrane wzory matematyczne — Formuła 2023
Dział 8. Ciągi, strona 9: wzór ogólny, suma i zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.