Matura podstawowa — Formuła 2023 · Dowody algebraiczne
Dowód podzielności różnicy kwadratów przez 5 — CKE czerwiec 2025, Formuła 2023, zadanie 5
Jak zapisać dowód algebraiczny?
Dowód algebraiczny uzasadnia własność dla wszystkich liczb spełniających założenia, a sprawdzenie kilku przykładów liczbowych nie zastępuje dowodu. Zapisz założenia za pomocą zmiennych i przekształć wyrażenie tak, aby wymagana własność wynikała z jego postaci.
TWOJA PRÓBA
Treść zadania
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba − jest podzielna przez 5.
PO WŁASNYCH OBLICZENIACHOdpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź
− jest wielokrotnością 5.
Rozwiązanie krok po kroku
Z założeń wynika, że a = 5k + 1 oraz b = 5m + 4 dla pewnych liczb całkowitych k i m.
Suma a + b = 5k + 5m + 5 = 5(k + m + 1) jest wielokrotnością 5.
Korzystamy z różnicy kwadratów: − = (a − b)(a + b) = 5(a − b)(k + m + 1).
Oba czynniki (a − b) oraz (k + m + 1) są całkowite. Ich iloczyn pomnożony przez 5 jest podzielny przez 5, co dowodzi tezy.
Źródła i kontekst
- Publiczne archiwalne opracowanie Mathematyczki (PDF)
Źródłowy PDF pozostaje dostępny; rozwiązanie HTML przeliczono niezależnie.