Analiza arkuszy CKE 2019–2025: geometria, algebra i punkty na E8

Kalendarz i dni tygodnia

Ustalenie dni tygodnia urodzin na podstawie podanej daty i dnia tygodnia.

PP2017 IV–VI XII.4: obliczenia kalendarzowe.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Zaokrąglanie liczb naturalnych

Policzenie liczb naturalnych, które po zaokrągleniu do dziesiątek dają ustaloną liczbę.

PP2017 IV–VI I.4: zaokrąglanie liczb naturalnych.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Działania na potęgach

Rozpoznanie wyrażenia równoważnego podanej potędze po przekształceniu iloczynów potęg.

PP2017 VII–VIII I.2: mnożenie i dzielenie potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Szacowanie pierwiastków

Porównanie wyrażeń zawierających pierwiastki z ustaloną liczbą bez konieczności wyznaczania dokładnych wartości.

PP2017 VII–VIII II.2: szacowanie pierwiastków i wyrażeń z pierwiastkami.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Dzielenie z resztą

Wyznaczenie największej liczby kart, które otrzyma każdy gracz po równym podziale przygotowanych kart.

PP2017 IV–VI II.17: wynik dzielenia z resztą i zapis ilorazu z resztą.

Praktyczny równy podział kart z resztą; liczby naturalne są narzędziem. Klasyfikacja graniczna: główne wymaganie CKE dotyczy dzielenia z resztą.

Proporcje i procenty

Obliczenie procentowego udziału cukru w syropie przy podanym stosunku mas cukru i wody.

PP2017 VII–VIII VII.3 i V.1: podział proporcjonalny oraz wyrażanie części wielkości procentowo.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Średnia arytmetyczna

Sprawdzenie średniego wynagrodzenia dwóch równolicznych grup pracowników oraz wpływu zmniejszenia obu grup.

PP2017 VII–VIII XIII.3: obliczanie średniej arytmetycznej.

Celem jest interpretacja danych, średnia, prawdopodobieństwo albo kompletne wyliczenie możliwości; kontekst nie zmienia tego celu.

Mnożenie dwumianów

Przekształcenie iloczynu dwóch dwumianów i redukcja wyrazów podobnych.

PP2017 VII–VIII IV.3 i IV.4: mnożenie sum algebraicznych i dwumianów.

Celem jest tworzenie, przekształcanie lub użycie wyrażeń i równań algebraicznych, zgodne ze wskazanym wymaganiem CKE.

Środek odcinka w układzie współrzędnych

Wskazanie ćwiartki układu współrzędnych, w której leży środek odcinka o podanych końcach.

PP2017 VII–VIII X.4 i X.3: środek odcinka i punkty w układzie współrzędnych.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Obwód figury po przekształceniu

Porównanie obwodu kwadratu z obwodem figury ułożonej z dwóch połówek tego kwadratu.

PP2017 IV–VI XI.1: obliczanie obwodu wielokąta.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Przystawanie trójkątów

Rozpoznanie przystających trójkątów na podstawie oznaczonych kątów i długości boku.

PP2017 VII–VIII VIII.4: cechy przystawania trójkątów.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Kąty w równoległoboku i trójkącie

Wyznaczenie kąta z własności równoległoboku oraz wpisanego w niego trójkąta równoramiennego.

PP2017 IV–VI IX.5 i IX.3: własności czworokątów oraz suma kątów trójkąta.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Twierdzenie Pitagorasa w dwóch trójkątach

Wyznaczenie długości boku czworokąta złożonego z dwóch trójkątów prostokątnych.

PP2017 VII–VIII VIII.8: zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Sześcian z małych sześcianów

Ustalenie liczby niewykorzystanych klocków po zbudowaniu największego możliwego sześcianu z podanej liczby klocków.

PP2017 IV–VI XI.5: obliczanie objętości prostopadłościanu.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Siatka ostrosłupa i krawędzie

Obliczenie sumy długości krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego na podstawie fragmentu jego siatki.

PP2017 VII–VIII XI.1: rozpoznawanie graniastosłupów i ostrosłupów, w tym prawidłowych.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Diagram kołowy i procenty

Obliczenie liczby przegranych meczów z diagramu kołowego i podanej liczby meczów wygranych.

PP2017 VII–VIII XIII.1 i V.2: interpretowanie diagramów oraz obliczanie procentu wielkości.

Celem jest interpretacja danych, średnia, prawdopodobieństwo albo kompletne wyliczenie możliwości; kontekst nie zmienia tego celu.

Kryterium: 2 pkt za poprawną metodę i 12 przegranych; 1 pkt za poprawną metodę liczby przegranych lub ustalenie 40 meczów ogółem.

Sprawdź: Liczba 10 dotyczy meczów wygranych, a nie wszystkich; sam odczyt procentu porażek nie kończy rozwiązania.

Droga, prędkość i czas

Porównanie czasu przejazdu samochodu i autobusu na tej samej trasie.

PP2017 IV–VI XII.9: obliczenia drogi, prędkości i czasu z jednostkami km/h i m/s.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Kryterium: 2 pkt za poprawną metodę i różnicę 15 minut lub ćwierć godziny; 1 pkt za poprawną metodę odpowiedniego czasu, drogi albo różnicy czasów.

Sprawdź: Należy uzgodnić jednostki czasu z prędkością podaną w kilometrach na godzinę.

Koszt bukietu i liczby naturalne

Uzasadnienie, czy bukiet o zadanej proporcji dwóch rodzajów kwiatów może kosztować wskazaną kwotę.

PP2017 IV–VI XIV.5 i II.12: praktyczne zadania tekstowe i szacowanie wyników.

Celem jest dopuszczalność zakupu bukietu. CKE wskazuje praktyczne zadania tekstowe i szacowanie, a nie równania; rozwiązanie algebraiczne oznaczono jako temat dodatkowy.

Kryterium: 2 pkt za poprawne uzasadnienie niemożliwości zakupu; 1 pkt za poprawne równanie lub wyrażenie kosztu albo co najmniej dwa poprawnie wyliczone przykładowe bukiety.

Sprawdź: Odpowiedź przecząca bez uzasadnienia nie daje pełnych punktów; liczba kwiatów musi być naturalna.

Ułamki w zadaniu tekstowym

Wyznaczenie łącznej liczby konkurencji na podstawie części przeprowadzonych w dwóch przedziałach czasu i liczby pozostałych.

PP2017 IV–VI XIV.5 i II.12: praktyczne zadania tekstowe i szacowanie wyników.

Celem jest liczba konkurencji z części całości. CKE wskazuje praktyczne zadania tekstowe i szacowanie; równanie jest akceptowaną metodą, lecz nie wyłącznym celem.

Kryterium: 3 pkt za poprawną metodę i 36 konkurencji; 2 pkt m.in. za ustalenie, jaką część całości stanowi 12 konkurencji, lub poprawne równanie; 1 pkt za wskazany poprawny etap.

Sprawdź: W rozwiązaniu próbami pełne punkty wymagają sprawdzenia co najmniej dwóch przypadków, w tym poprawnego, i odpowiedzi.

Pole i wymiary prostokąta

Wyznaczenie wymiarów działki o podanym polu podzielonej według rysunku na trzy przystające prostokąty.

PP2017 VII–VIII IX.2: pola wielokątów oraz wyznaczanie długości odcinków.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Kryterium: 3 pkt za poprawne rozwiązanie i wymiary 50 m oraz 75 m; 2 pkt za poprawną metodę jednego wymiaru; 1 pkt za ustalenie właściwego stosunku boków.

Sprawdź: Same poprawne wymiary bez przedstawienia sposobu obliczenia dają tylko 1 punkt; jednostek w tym zadaniu nie ocenia się.

Obwody trójkąta i trapezu

Obliczenie różnicy obwodów trójkąta prostokątnego i trapezu utworzonego z jego dwóch części.

PP2017 VII–VIII VIII.8 i IV–VI XI.1: twierdzenie Pitagorasa oraz obwody wielokątów.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Kryterium: 3 pkt za poprawną metodę i różnicę obwodów 4 cm; 2 pkt za poprawną metodę obu obwodów, ich różnicy lub obwód trapezu; 1 pkt za metodę obliczenia przeciwprostokątnej.

Sprawdź: Trzeba porównać obwody po przełożeniu części figury; ustalenie samej przeciwprostokątnej to etap na 1 punkt.

Część drogi i ułamki

Ocena udziału odcinków przejechanych podczas kolejnych dni wycieczki w całej trasie.

PP2012 12.1 i 4.1: procent jako część wielkości oraz opis części całości ułamkiem.

Tabela podaje drogę w kolejnych dniach; cel to udział części drogi w całości, nie obliczenie miary statystycznej. Odczyt tabeli pozostaje tematem dodatkowym.

Działania na ułamkach

Obliczenie wartości wyrażenia z ułamkami zwykłymi, liczbą ujemną i kolejnością działań.

PP2012 5.7: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych na ułamkach.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Podział proporcjonalny kosztu

Wyznaczenie udziału jednego z trzech wspólników w koszcie zakupu samochodu przy zadanej proporcji wpłat.

PP2017 VII–VIII VII.3: podział proporcjonalny.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Oś liczbowa

Wyznaczenie liczb przypisanych do równomiernie rozmieszczonych punktów osi liczbowej.

PP2012 1.2: odczytywanie i zaznaczanie liczb naturalnych na osi liczbowej.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Prędkość i długość pociągu

Obliczenie czasu całkowitego przejazdu pociągu przez tunel z uwzględnieniem długości pociągu.

PP2012 12.9: obliczenia drogi, prędkości i czasu.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Działania na pierwiastkach

Uproszczenie iloczynu pierwiastka i różnicy pierwiastków przez wyłączanie czynników.

PP2017 VII–VIII II.4 i II.5: mnożenie pierwiastków i wyłączanie czynnika przed pierwiastek.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Prawa działań na potęgach

Wskazanie wyrażenia, którego wartość różni się od podanej potęgi.

PP2017 VII–VIII I.2 i I.4: mnożenie i dzielenie potęg oraz potęgowanie potęgi.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Wykres i średnia arytmetyczna

Policzenie skoków, których wysokości odczytane z diagramu przewyższają średnią wysokość wszystkich prób.

PP2017 VII–VIII XIII.1 i XIII.3: interpretacja danych oraz średnia arytmetyczna.

Celem jest interpretacja danych, średnia, prawdopodobieństwo albo kompletne wyliczenie możliwości; kontekst nie zmienia tego celu.

Siatka sześcianu

Rozpoznanie sześcianu możliwego do złożenia z siatki o oznaczonych ścianach.

PP2012 14.3: dostrzeganie zależności między podanymi informacjami.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Przekształcanie wzoru

Wyznaczenie długości podstawy trapezu przez przekształcenie podanego wzoru na jego pole.

PP2017 VII–VIII VI.5: przekształcanie wzorów w celu wyznaczenia wskazanej wielkości.

Choć wzór opisuje trapez, pytanie dotyczy wyłącznie poprawnego przekształcenia wzoru. CKE wskazuje wprost wymaganie VI.5 dotyczące przekształcania wzorów.

Romb i trójkąty równoboczne

Ocena podziału rombu przekątną oraz jego pola przy zadanym boku i kącie ostrym.

PP2012 9.5 oraz PP2017 VII–VIII IX.2: własności czworokątów i pola wielokątów.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Długości łamanych i regularność

Rozpoznanie reguły tworzenia łamanych na kratownicy i wyznaczenie długości kolejnych łamanych.

PP2012 14.3: dostrzeganie zależności między podanymi informacjami.

Wyznaczane są długości geometrycznych łamanych na kratownicy. Reguła liczbowa jest środkiem rozwiązania; zgodnie z przyjętym pierwszeństwem celu geometrycznego kategoria to geometria.

Porównanie obniżek cen

Porównanie cen łyżew po trzech rabatach opisanych ułamkami i procentami.

PP2012 14.5 oraz PP2017 VII–VIII V.5: zadania praktyczne z obliczeniami procentowymi.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Wysokość trójkąta równobocznego

Obliczenie obwodu połowy trójkąta równobocznego utworzonej przez jego wysokość.

PP2012 11.1 oraz PP2017 VII–VIII VIII.8: obwód wielokąta i twierdzenie Pitagorasa.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Pole trójkąta i właściwa wysokość

Wybór wyrażenia opisującego pole trójkąta z wykorzystaniem podstawy i odpowiadającej jej wysokości.

PP2017 VII–VIII IX.2 i III.3: pola wielokątów i zapis zależności wyrażeniami algebraicznymi.

Wybór właściwej podstawy i odpowiadającej jej wysokości służy wyznaczeniu pola trójkąta; algebraiczny zapis wyniku jest tematem dodatkowym.

Dowód dotyczący kątów trójkąta

Wykazanie, że trójkąt o kątach spełniających zadany związek jest prostokątny.

PP2017 VII–VIII VIII.7 i VIII.9: suma kątów trójkąta oraz proste dowody geometryczne.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Kryterium: 2 pkt za ogólny poprawny dowód prostokątności; 1 pkt za poprawne równanie łączące kąty i ich sumę lub właściwy zapis zależności równoważnej warunkowi.

Sprawdź: Sprawdzenie wyłącznie dowolnie wybranych konkretnych wartości kątów, bez dowodu ogólnego, daje 0 punktów.

Kombinatoryka i warunki wyboru

Wypisanie wszystkich par miejsc w pociągu spełniających dwa różne warunki wyboru pasażerek.

PP2017 VII–VIII XII.1: wyznaczanie zbiorów obiektów spełniających warunki.

Celem jest interpretacja danych, średnia, prawdopodobieństwo albo kompletne wyliczenie możliwości; kontekst nie zmienia tego celu.

Kryterium: 2 pkt za pełny zbiór siedmiu poprawnych par miejsc w podstawowej interpretacji rysunku; 1 pkt za pełne pary dla jednej opcji Edyty albo pełne zbiory dopuszczalnych miejsc obu pasażerek.

Sprawdź: Sama liczba możliwości bez numerów miejsc daje 0 punktów; dołączenie do pełnego poprawnego zestawu jednej błędnej pary daje 1 punkt, a więcej niż jednej daje 0. CKE dopuszcza też opisane alternatywne interpretacje orientacji foteli.

Równanie w zadaniu tekstowym

Obliczenie liczby książek przy zadanym udziale książek w nagrodach i różnicy liczby książek oraz e-booków.

PP2017 VII–VIII VI.4: rozwiązywanie zadań tekstowych równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.

CKE wskazuje wprost równanie pierwszego stopnia w zadaniu tekstowym (VI.4). Dlatego kategoria algebra, mimo akceptowanych rozwiązań arytmetycznych i kontekstu nagród.

Kryterium: 2 pkt za poprawną metodę i 16 książek; 1 pkt za poprawną metodę obliczenia liczby nagród, książek lub e-booków.

Sprawdź: Przy metodzie prób samo sprawdzenie jednego poprawnego kandydata daje 1 punkt; pełne punkty wymagają co najmniej dwóch sprawdzeń i odpowiedzi.

Kalendarz i wydajność pracy

Obliczenie liczby poduszek uszytych w miesiącu z uwzględnieniem dni roboczych, czasu pracy i wydajności.

PP2012 12.4 i 14.5: obliczenia kalendarzowe oraz praktyczne zadania tekstowe.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Kryterium: 3 pkt za poprawną metodę i 462 poduszki; 2 pkt za poprawną metodę miesięcznych godzin lub połączenie dni pracy z dzienną produkcją; 1 pkt za poprawny etap.

Sprawdź: Przyjęcie 30 dni marca albo, przy 31 dniach, ośmiu lub dziesięciu dni wolnych pozwala uzyskać 2 punkty, jeśli pozostała metoda i rachunki są poprawne.

Zakup pełnych opakowań

Obliczenie kosztu zakupu pełnych worków nasion potrzebnych do obsiania prostokątnego boiska.

PP2012 14.5: praktyczne zadania tekstowe z arytmetyką i geometrią.

Celem jest koszt zakupu wystarczającej liczby pełnych worków; pole prostokąta jest etapem pomocniczym. CKE wskazuje praktyczne zadania tekstowe, a nie osobne wymaganie geometryczne.

Kryterium: 3 pkt za poprawną metodę ustalenia liczby pełnych worków i koszt 652 zł; 2 pkt za poprawną metodę liczby worków; 1 pkt za metodę obliczenia potrzebnej masy lub właściwe oszacowanie.

Sprawdź: Podanie czterech worków bez uzasadnienia i następnie kosztu daje 0 punktów; samo pole i nieuzasadnione cztery worki z kosztem daje 1 punkt.

Objętość ostrosłupa z siatki

Wyznaczenie wysokości i objętości ostrosłupa o kwadratowej podstawie na podstawie danych oznaczonych na siatce.

PP2017 VII–VIII VIII.8 i XI.3: twierdzenie Pitagorasa oraz objętość ostrosłupa.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Kryterium: 3 pkt za poprawną metodę i objętość 100 ${\text{cm}}^3$; 2 pkt za poprawną metodę objętości; 1 pkt za poprawną metodę wysokości.

Sprawdź: Jednostka jest oceniana tylko w wyniku końcowym; błędna jednostka końcowa jest traktowana jak błąd rachunkowy.

Diagram słupkowy i średnia

Sprawdzenie udziału złotych medali w ogólnej liczbie medali i średniej z czterech olimpiad.

WE2021 XXI.1 i XXI.2: interpretowanie danych i obliczanie średniej arytmetycznej.

Celem jest interpretacja danych, średnia, prawdopodobieństwo albo kompletne wyliczenie możliwości; kontekst nie zmienia tego celu.

Działania na liczbach dziesiętnych ujemnych

Wskazanie największej wartości spośród czterech działań na dodatnich i ujemnych liczbach dziesiętnych.

WE2021 V.2: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Porównywanie sumy i różnicy ułamków

Ocena położenia sumy i różnicy ułamków względem zera i jedności.

WE2021 V.1: działania na ułamkach zwykłych.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Potęgowanie dużych liczb

Wybór zapisu potęgi wielkiej liczby z wykorzystaniem praw działań na potęgach.

WE2021 VII.4: potęgowanie potęgi.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Podzielność iloczynu

Uzasadnienie podzielności iloczynu pięciu kolejnych liczb naturalnych przez dziesięć.

WE2021 II.7: rozpoznawanie podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 i 100.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Procenty i historyczna tabela podatkowa

Wybór poprawnych obliczeń podatku na podstawie historycznej tabeli i dwóch podanych dochodów.

WE2021 XI.5: praktyczne zastosowania obliczeń procentowych.

Celem jest interpretacja warunków praktycznych i obliczenie czasu, kosztu, proporcji lub liczebności; wskazane wymaganie CKE nie ustanawia celu algebraicznego.

Szacowanie wyrażenia z pierwiastkiem

Określenie przedziału, w którym leży wyrażenie zawierające ujemny pierwiastek i liczbę całkowitą.

WE2021 VIII.2: szacowanie pierwiastków i prostych wyrażeń z pierwiastkami.

Celem jest własność liczb lub działanie liczbowe; kontekst nie wymaga modelowania równaniem ani rozwiązywania problemu geometrycznego.

Własności wyrażeń z parametrem

Ocena parzystości liczby oraz różnicy dwóch liczb określonych wzorami z parametrem naturalnym.

WE2021 IX.1 i X.3: zapis wzorami i mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian.

Pytania dotyczą parzystości i różnicy wartości wzorów, a nie długości boków figury. CKE wskazuje wyrażenia algebraiczne; nazwa trójek pitagorejskich nie zmienia celu.

Wartości wyrażeń algebraicznych

Obliczenie największej liczby opisanej trzema wzorami, gdy znana jest najmniejsza z nich.

WE2021 IX.1 i IX.3: zapis wzorami i obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych.

Wyznaczane są wartości trzech wyrażeń z parametrem. Brak celu geometrycznego; CKE wskazuje tworzenie i obliczanie wartości wyrażeń algebraicznych.

Średnia arytmetyczna cen

Obliczenie ceny jednej rzeczy na podstawie średniej ceny czterech zakupów i kosztu pozostałych zakupów.

WE2021 XXII.5 i XXI.2: praktyczne zadanie tekstowe oraz średnia arytmetyczna.

Dana średnia cen jest podstawowym narzędziem i celem wymagania statystycznego; ceny oraz możliwe równanie pozostają tematami dodatkowymi.

Prawdopodobieństwo losowania

Obliczenie liczby losów wygrywających i prawdopodobieństwa wygranej po usunięciu części pustych losów.

WE2021 XX.2: prawdopodobieństwa prostych zdarzeń w losowaniu.

Celem jest interpretacja danych, średnia, prawdopodobieństwo albo kompletne wyliczenie możliwości; kontekst nie zmienia tego celu.

Kąty między wysokościami trójkąta

Wyznaczenie kąta trójkąta na podstawie kąta między dwiema jego wysokościami.

WE2021 XVI.3 i XVII.7: suma kątów trójkąta i obliczenia kątów wielokąta.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Wspólne wielokrotności

Policzenie wewnętrznych punktów listewki, w których pokrywają się dwa regularne podziały na odcinki.

WE2021 II.7: rozpoznawanie podzielności liczb.

Celem jest policzenie wspólnych wielokrotności dwóch podziałów. Listewka ilustruje podzielność; nie trzeba wyznaczać własności figury ani wzoru geometrycznego. Klasyfikacja graniczna z praktycznym kontekstem.

Objętość części prostopadłościanu

Obliczenie objętości piasku wypełniającego wskazaną część prostopadłościennej skrzyni.

WE2021 XIX.4: objętość i pole powierzchni prostopadłościanu.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Pole powierzchni po sklejeniu brył

Obliczenie pola powierzchni bryły powstałej ze sklejenia podstawami dwóch jednakowych ostrosłupów.

WE2021 XIX.6: pola powierzchni i objętości ostrosłupów prawidłowych.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Ułamki i weryfikacja warunków

Uzasadnienie, czy opisane części podzielonej między rodzeństwo czekolady mogą należeć do jednej tabliczki.

WE2021 IV.12 i XXII.6: porównywanie ułamków i sprawdzanie sensowności rozwiązania zadania tekstowego.

Celem jest weryfikacja spójności praktycznej sytuacji podziału całości. CKE wskazuje sprawdzanie wszystkich warunków zadania tekstowego; rachunki ułamkowe są narzędziem.

Kryterium: 2 pkt za poprawne rozumowanie o częściach czekolady i wniosek o niemożliwości opisanej sytuacji; 1 pkt za poprawną metodę sumy lub porównania części.

Sprawdź: Trzeba wyraźnie powiązać sumę części większą od całości z wnioskiem; sama poprawna metoda rachunkowa nie kończy uzasadnienia.

Prędkość, czas i droga na siatce

Wyznaczenie godziny przyjazdu skutera z prędkości, czasu wyjazdu i trasy przedstawionej na kwadratowej siatce.

WE2021 VI.7 i XVI.8 (kod XVI.8 tak wydrukowano w zasadach): czas z drogi i prędkości oraz twierdzenie Pitagorasa.

Celem jest godzina przyjazdu. Twierdzenie Pitagorasa wyznacza pomocniczą część trasy, a nie końcową wielkość geometryczną; wymieniono je jako temat dodatkowy.

Kryterium: 3 pkt za poprawną metodę i godzinę 17:56; 2 pkt za poprawną metodę drogi oraz czasu; 1 pkt m.in. za poprawny odcinek z Pitagorasa lub czas jednego prawidłowo wyznaczonego odcinka.

Sprawdź: Zmierzenie lub oszacowanie ukośnego odcinka ze skali rysunku, przy dalszym poprawnym rozwiązaniu, pozwala uzyskać najwyżej 2 punkty.

Cena i dwa warunki zakupu

Obliczenie ceny puszki karmy z dwóch warunków: brakującej kwoty przy większym zakupie i reszty przy mniejszym.

WE2021 XXII.5: praktyczne zadania tekstowe z arytmetyką i geometrią.

Celem jest cena z dwóch warunków zakupu. CKE wskazuje XXII.5 praktyczne zadania tekstowe, a nie kod równania. Klasyfikacja graniczna: poprawna metoda algebraiczna jest oznaczona jako temat dodatkowy.

Kryterium: 2 pkt za poprawną metodę i cenę 3,60 zł; 1 pkt za poprawne równanie ceny lub posiadanej kwoty albo wyrażenia arytmetyczne prowadzące do ceny. Próby mogą dać pełne punkty po poprawnym sprawdzeniu wszystkich warunków dla właściwego kandydata.

Sprawdź: Przy sprawdzaniu nietrafionych kandydatów na 1 punkt trzeba poprawnie sprawdzić co najmniej dwa; w tym zadaniu jednostek nie ocenia się.

Wysokość do przekątnej prostokąta

Obliczenie długości prostopadłego odcinka opuszczonego z wierzchołka prostokąta na jego przekątną.

WE2021 XVI.6 i XVII.5: twierdzenie Pitagorasa i pole trójkąta.

Celem jest własność figury lub bryły, jej długość, kąt, pole, objętość albo położenie geometryczne; geometria ma pierwszeństwo nad rachunkami pomocniczymi.

Kryterium: 3 pkt za poprawną metodę i długość 9,6 cm; 2 pkt za zrównanie pól trójkąta z poprawnie wyznaczoną przekątną; 1 pkt za poprawną metodę przekątnej lub odpowiednie pole trójkąta.

Sprawdź: Odczyt długości z pomiaru rysunku nie zastępuje poprawnej metody; błędna jednostka końcowa jest traktowana jak błąd rachunkowy.

Diagram kołowy i procenty

Wyznaczanie liczebności uczniów na podstawie diagramu procentowego preferencji filmowych.

XI.5: Obliczenia procentowe w problemach praktycznych.

Celem jest interpretacja danych z diagramu; obliczenia procentowe służą przeliczeniu udziałów na liczebności.

Ułamki, potęgi i kolejność działań

Obliczanie wartości wyrażenia arytmetycznego zawierającego ułamek i potęgi.

II.10: Obliczanie kwadratów i sześcianów liczb naturalnych.; V.7: Obliczanie wartości wyrażeń z zachowaniem kolejności działań.

Wyrażenie zawiera wyłącznie liczby; nie ma niewiadomej ani kontekstu użytkowego.

Liczby naturalne i suma cyfr

Wyznaczanie skrajnych liczb trzycyfrowych o wskazanej sumie cyfr i obliczanie ich sumy.

I.1: Zapis i odczyt wielocyfrowych liczb naturalnych.; II.2: Dodawanie i odejmowanie wielocyfrowych liczb naturalnych.; XX.1: Wyznaczanie i liczenie obiektów o zadanej własności w prostych sytuacjach.

Głównym celem są zapis pozycyjny liczb i wynik dodawania; pomocnicze wyszukiwanie możliwości oznaczono osobno.

Podzielność przez trzy

Wybór uzasadnienia podzielności sumy dwóch liczb naturalnych.

II.7: Rozpoznawanie podzielności przez wskazane liczby naturalne.

Litera oznacza konkretną liczbę, a cel stanowi podzielność; nie trzeba modelować ani rozwiązywać równania.

Działania na potęgach

Rozpoznawanie wyrażeń równoważnych wskazanej potędze liczby dziesięć.

VII.2: Mnożenie i dzielenie potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych.; VII.4: Podnoszenie potęgi do potęgi.

Oceniane są prawa działań na potęgach o liczbowych podstawach i wykładnikach.

Proporcjonalność wprost

Porównywanie zużycia materiału przy szyciu różnej liczby bluzek w dwóch rozmiarach.

XIII.2: Wyznaczanie wartości wielkości w konkretnej zależności wprost proporcjonalnej.

Celem jest praktyczne skalowanie zużycia materiału; CKE wskazuje proporcjonalność, bez wymagania równań.

Wartość wyrażenia algebraicznego

Dobór liczby, dla której wyrażenie z czwartą potęgą ma najmniejszą wartość.

IX.3: Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego.

Trzeba obliczać i porównywać wartości wyrażenia zależnego od zmiennej; CKE wskazuje IX.3.

Szacowanie pierwiastka

Ustalanie przedziału między kolejnymi liczbami całkowitymi, w którym znajduje się pierwiastek.

VIII.2: Szacowanie wartości pierwiastków i wyrażeń zawierających pierwiastki.

Celem jest oszacowanie wartości liczby przez porównanie kwadratów.

Liczby całkowite na osi

Odczytywanie brakującej liczby z osi podzielonej na równe odcinki.

III.1: Interpretowanie liczb całkowitych na osi liczbowej.

Zadanie dotyczy interpretacji liczb całkowitych na osi według III.1; nie bada figury ani układu współrzędnych na płaszczyźnie.

Porównanie różnicowe wielkości

Obliczanie różnicy rozmiarów dwóch plików, gdy podano zależność ilorazową.

V.2: Działania na ułamkach dziesiętnych.; V.4: Porównywanie ułamków z wykorzystaniem różnicy.

Wynikiem jest różnica wielkości wyrażona w MB w praktycznym kontekście; brak wymagania modelowania równaniem.

Modelowanie zależności równaniem

Wybór równania opisującego zużycie części zapasu ziemi ogrodowej.

IX.4: Oznaczanie niewiadomych literami i zapisywanie zależności za pomocą wyrażeń algebraicznych.; IX.5: Zapisywanie rozwiązania zadania w postaci wyrażenia algebraicznego.

Bezpośrednio oceniany jest zapis zależności z niewiadomą, zgodnie z IX.4 i IX.5.

Koszt zakupu i cena jednostkowa

Wyznaczanie kosztu zakupu dwóch rodzajów biletów na podstawie kosztów innych zakupów.

III.3: Proste obliczenia pamięciowe na liczbach całkowitych.

Celem są obliczenia pieniężne i cena jednostkowa; CKE nie wskazuje wymagania równań.

Kąty w trójkątach

Obliczanie kąta z wykorzystaniem trójkąta równoramiennego i kątów przyległych.

XVI.4: Własności trójkąta równoramiennego, w tym równość kątów przy podstawie.; XVII.7: Obliczanie miar kątów z własności kątów i wielokątów.

Szukana wielkość jest miarą kąta figury.

Prawdopodobieństwo losowania

Wyznaczanie liczby dołożonych kulek ze wskazanego prawdopodobieństwa wylosowania koloru.

XX.1: Wyznaczanie i liczenie obiektów o zadanej własności w prostych sytuacjach.

Warunek i cel wynikają z doświadczenia losowego; wyliczenie liczebności wspiera obliczenie prawdopodobieństwa.

Pole i obwód trapezu

Ocena pola i obwodu trapezu złożonego z jednakowych trójkątów prostokątnych.

XVI.6: Stosowanie twierdzenia Pitagorasa.; XVII.4: Obliczanie obwodu wielokąta.; XVII.5: Stosowanie wzorów na pola wskazanych wielokątów, także do wyznaczania odcinków.

Oba oceniane stwierdzenia dotyczą wielkości geometrycznych, z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa.

Równanie z procentową częścią całości

Wyznaczanie liczby zielonych korali stanowiących określony procent całego naszyjnika.

XII.4: Rozwiązywanie zadań tekstowych równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, także z procentami.; XXII.5: Rozwiązywanie praktycznych zadań tekstowych metodami arytmetycznymi lub własną poprawną metodą.

CKE przypisuje XII.4: modelowanie zadania równaniem; dopuszczalna metoda arytmetyczna nie zmienia wyłącznej kategorii.

Kryterium: 2 pkt: poprawny model i obliczenia prowadzące do 3 zielonych korali, albo poprawne sprawdzenie tej liczby. 1 pkt: poprawne równanie prowadzące do liczby zielonych lub wszystkich korali; poprawne wykorzystanie faktu, że 12 korali to 80% całości i zapis obliczeń; albo sprawdzenie warunków dla co najmniej dwóch innych liczebności. 0 pkt: brak poprawnego postępu wymaganego w kryteriach.

Sprawdź: Obliczenie 20% z 12 traktuje korale srebrne i czerwone jak całość. W rzeczywistości stanowią one 80% wszystkich korali. Sam błędny model nie spełnia kryterium punktu za poprawne równanie lub wyrażenia.

Prędkość i jednostki czasu

Obliczanie prędkości kierowcy na podstawie długości trasy i godzin przejazdu.

VI.7: Obliczanie drogi, prędkości i czasu oraz stosowanie jednostek prędkości.

Celem jest prędkość w km/h; konieczne są różnica godzin i zgodne jednostki.

Kryterium: 2 pkt: poprawna metoda, rachunki i prędkość 90 km/h. 1 pkt: prawidłowe ustalenie 15 min i wyrażenie jako części godziny; albo poprawny związek prędkości, drogi i czasu; albo poprawna proporcja prowadząca do drogi w godzinę. Błędny czas lub zamiana jednostek są błędami rachunkowymi. 0 pkt: brak rozwiązania spełniającego te kryteria.

Sprawdź: 15 min to $\frac{15}{60}$ h = $\frac{1}{4}$ h = 0,25 h. Zapis 0,15 h, błędna różnica godzin albo pominięcie przeliczenia km/min na km/h uniemożliwiają pełne 2 pkt; poprawny etap metody może zachować 1 pkt.

Przekątne rombu i twierdzenie Pitagorasa

Wyznaczanie drugiej przekątnej rombu z obwodu i długości pierwszej przekątnej.

XVI.2: Wykorzystanie własności wskazanych czworokątów.; XVI.6: Stosowanie twierdzenia Pitagorasa.

Szukana wielkość jest długością przekątnej; własności rombu i Pitagoras określają kategorię.

Kryterium: 3 pkt: poprawna metoda, rachunki i cała przekątna BD długości 10 cm. 2 pkt: poprawny sposób obliczenia połowy BD przez Pitagorasa z bokiem 13 cm i połową AC równą 12 cm, albo poprawne ustalenie tych długości i połowy BD. 1 pkt: właściwe ustalenie dwóch pomocniczych długości albo jednej z nich i właściwe użycie Pitagorasa zgodnie z oznaczeniami. Nie ocenia się jednostek.

Sprawdź: Pitagoras daje połowę BD: 5 cm. Zakończenie rozwiązania na 5 cm pomija podwojenie i nie spełnia kryterium 3 pkt. Należy też odróżnić obwód 52 cm od boku 13 cm i przekątną AC od jej połowy.

Siatka i objętość graniastosłupa

Obliczanie objętości graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z wymiarów jego siatki.

XIX.3: Rozpoznawanie siatek graniastosłupów prostych.; XIX.5: Obliczanie objętości i pól powierzchni graniastosłupów prostych i prawidłowych.

Celem jest objętość bryły, a odczyt siatki i ustalanie wymiarów są krokami geometrycznymi.

Kryterium: 3 pkt: poprawne wyznaczenie objętości 6400 ${\text{cm}}^3$. 2 pkt: poprawny sposób obliczenia krawędzi podstawy i wysokości oraz właściwe wykorzystanie wzoru na objętość; albo ustalone poprawne wymiary 16 cm i 25 cm wraz z ich użyciem w tym wzorze. 1 pkt: poprawna metoda lub ustalenie jednej z tych długości. Brak lub niewłaściwa jednostka objętości w wyniku jest błędem rachunkowym.

Sprawdź: Wymiar 41 cm na siatce nie jest samą wysokością bryły: trzeba odjąć krawędź podstawy. Wynik objętości powinien mieć ${\text{cm}}^3$; brak tej jednostki lub zapis ${\text{cm}}^2$ wyklucza pełne 3 pkt.

Proporcjonalność przepisu

Przeliczanie składników przepisu na inną liczbę gofrów.

XIII.2: Wyznaczanie wartości wielkości w konkretnej zależności wprost proporcjonalnej.

Celem jest praktyczne skalowanie ilości składników; CKE wskazuje proporcjonalność wprost.

Sześcian i wspólny mianownik

Wyznaczanie hasła z sześcianu liczby i najmniejszego wspólnego mianownika ułamków.

II.10: Obliczanie kwadratów i sześcianów liczb naturalnych.; IV.4: Sprowadzanie ułamków zwykłych do wspólnego mianownika.

Historia hasła stanowi oprawę dwóch czystych operacji na liczbach.

Podstawianie do wyrażenia

Rozpoznawanie wyrażenia przyjmującego zero dla dwóch wskazanych wartości zmiennej.

IX.3: Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego.

Bezpośrednim celem są wartości wyrażeń ze zmienną, zgodnie z IX.3.

Maksymalna liczba przedmiotów

Wyznaczanie maksymalnej liczby książek mieszczących się na półce przy wskazanym ustawieniu.

XXII.3: Dostrzeganie zależności między informacjami w zadaniu tekstowym.; II.3: Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych.; V.2: Działania na ułamkach dziesiętnych.

Celem jest użytkowa liczebność wyznaczana przez dzielenie; wymagania CKE obejmują analizę danych i arytmetykę, nie własności figur.

Działania z pierwiastkami

Obliczanie sumy i różnicy pierwiastków kwadratowych.

VIII.1: Obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych z odpowiednich potęg liczb wymiernych.

Celem jest wartość dwóch wyrażeń liczbowych.

Równanie z procentowym porównaniem

Obliczanie liczby jabłoni z różnicy liczebności i procentowej przewagi grusz.

XII.4: Rozwiązywanie zadań tekstowych równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, także z procentami.

CKE jednoznacznie wskazuje XII.4, czyli zadanie tekstowe modelowane równaniem mimo możliwej alternatywy arytmetycznej.

Iloczyn i iloraz potęg

Upraszczanie ilorazu oraz iloczynu potęg o dodatnich wykładnikach.

VII.2: Mnożenie i dzielenie potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych.; VII.4: Podnoszenie potęgi do potęgi.

Wyrażenia zawierają liczby; zadanie sprawdza prawa działań na potęgach, bez zmiennej.

Zapis działań wyrażeniem

Zapisywanie opisanych słownie działań na dwóch zmiennych za pomocą wyrażeń.

IX.4: Oznaczanie niewiadomych literami i zapisywanie zależności za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Wynikiem jest poprawny model symboliczny, nie obliczenie konkretnej liczby.

Wierzchołki brył

Porównywanie liczby wierzchołków ostrosłupa i graniastosłupa o tej samej podstawie.

XIX.1: Rozpoznawanie graniastosłupów i ostrosłupów.

Celem jest własność brył wynikająca z kształtu podstawy.

Skala i jednostki długości

Przeliczanie odległości między przystankami na planie na odległość w terenie.

VI.4: Przeliczanie i właściwe stosowanie jednostek długości.; VI.6: Obliczanie rzeczywistej długości na podstawie długości w skali.

Wymagania VI.4 i VI.6 dotyczą skali oraz przeliczania jednostek; nie bada się własności figury.

Prawdopodobieństwo i porównanie ułamków

Ocena prawdopodobieństwa wylosowania kul dwóch kolorów.

XX.2: Analizowanie prostych doświadczeń losowych i obliczanie prawdopodobieństwa.; IV.12: Porównywanie ułamków.

Oba stwierdzenia dotyczą prostego doświadczenia losowego.

Obwód prostokąta i Pitagoras

Obliczanie obwodu prostokąta z odcinków wyznaczonych przez środki dwóch boków.

XVI.2: Wykorzystanie własności wskazanych czworokątów.; XVI.6: Stosowanie twierdzenia Pitagorasa.; XVII.4: Obliczanie obwodu wielokąta.

Wynikiem jest obwód figury; twierdzenie Pitagorasa i własności prostokąta są niezbędne.

Równoległość i prostopadłość w powtarzalnym wzorze

Ocena wzajemnego położenia prostych zawierających odcinki powtarzalnej figury.

XIV.2: Rozpoznawanie prostych i odcinków równoległych oraz prostopadłych.; II.4: Dzielenie liczb naturalnych z resztą.

Celem są równoległość i prostopadłość; dzielenie z resztą jest narzędziem odnajdywania kierunku odcinków.

Układanie figur i pole kwadratu

Ocena możliwości ułożenia kwadratu z trzech figur wraz z uzasadnieniem.

XVII.5: Stosowanie wzorów na pola wskazanych wielokątów, także do wyznaczania odcinków.

Cel stanowi konstrukcja figury i właściwe uzasadnienie; sama równość sumy pól nie wystarcza.

Kąty czworokąta

Obliczanie kątów czworokąta podzielonego przekątną na dwa szczególne trójkąty.

XVII.7: Obliczanie miar kątów z własności kątów i wielokątów.

Oba oceniane stwierdzenia dotyczą kątów figury.

Równanie opisujące koszty biletów

Wyznaczanie ceny biletu do teatru z łącznego kosztu i różnicy cen dwóch rodzajów biletów.

XII.4: Rozwiązywanie zadań tekstowych równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, także z procentami.; XXII.5: Rozwiązywanie praktycznych zadań tekstowych metodami arytmetycznymi lub własną poprawną metodą.

Wymaganie XII.4 określa modelowanie równaniem; kontekst cen i dopuszczenie arytmetyki są tematami pomocniczymi.

Kryterium: 2 pkt: poprawny model arytmetyczny lub równania, obliczenia i cena biletu teatralnego 80 zł; dopuszcza się poprawne sprawdzenie wszystkich warunków dla tej ceny. 1 pkt: poprawne równanie lub wyrażenia prowadzące do ceny dowolnego rodzaju biletu; albo określona w zasadach częściowa metoda prób i błędów, w tym sprawdzenie co najmniej dwóch innych cen. 0 pkt: brak postępu spełniającego kryteria.

Sprawdź: Przy oznaczeniu ceny biletu kinowego jako x trzeba objąć różnicę cen nawiasem: koszt czterech biletów teatralnych to 4·(x + 64). Zapis 4x + 64 tworzy błędny model. Wynik 16 zł jest ceną biletu kinowego, a pytanie dotyczy teatru.

Stała prędkość i proporcjonalność

Obliczanie długości pociągu z drogi przebytej w dwóch przedziałach czasu.

VI.4: Przeliczanie i właściwe stosowanie jednostek długości.; VI.7: Obliczanie drogi, prędkości i czasu oraz stosowanie jednostek prędkości.; XIII.2: Wyznaczanie wartości wielkości w konkretnej zależności wprost proporcjonalnej.

Celem jest zależność drogi i czasu przy stałej prędkości; CKE wskazuje VI.7 i XIII.2.

Kryterium: 2 pkt: poprawna metoda i rachunki dające długość pociągu 210 m lub równoważny wynik w zgodnej jednostce. 1 pkt: poprawna metoda obliczenia prędkości oraz drogi w 15 s, albo prawidłowa proporcja między drogami w 15 s i 50 s. Błąd konwersji lub jednostki wyniku jest błędem rachunkowym. 0 pkt: brak spełnienia tych kryteriów.

Sprawdź: Samo obliczenie prędkości 14 m/s nie rozwiązuje zadania o długości i nie wyczerpuje warunku punktu za metodę prędkościową. Trzeba jeszcze poprawnie zapisać drogę w 15 s. Wynik 210 m/s zamiast 210 m ma niewłaściwą jednostkę.

Pole i wysokość trójkąta

Wyznaczanie wysokości trójkąta z pola czworokąta i danych drugiego trójkąta.

XVII.5: Stosowanie wzorów na pola wskazanych wielokątów, także do wyznaczania odcinków.

Celem jest odcinek figury obliczony z pól; pomocnicze równanie nie zmienia kategorii geometrycznej.

Kryterium: 3 pkt: poprawny sposób, rachunki i wysokość 10 cm. 2 pkt: poprawna relacja sumy lub różnicy pól i wzory dla obu trójkątów albo równoważna metoda z sumą ich wysokości. 1 pkt: poprawna metoda obliczenia pola znanego trójkąta lub wzór drugiego z poprawną daną, albo wzór pola czworokąta z sumą wysokości. Pomiar linijką jest niedopuszczalny; jednostek się nie ocenia.

Sprawdź: Przekątna BD nie musi być sumą wysokości do AC. Założenie prostopadłych przekątnych bez uzasadnienia, nawet z bezbłędnym dalszym rachunkiem, ogranicza wynik do 2 pkt. Nie wolno wyznaczać wysokości pomiarem ilustracji.

Wymiary i objętość prostopadłościanu

Obliczanie objętości jednego klocka z wymiarów figury ułożonej z identycznych klocków.

XIX.4: Obliczanie objętości prostopadłościanu z długości krawędzi.

Celem jest objętość bryły zgodnie z XIX.4; zależności liniowe pomagają znaleźć krawędzie.

Kryterium: 3 pkt: poprawny sposób i wynik 225 ${\text{cm}}^3$. 2 pkt: poprawna metoda wyznaczenia dwóch krawędzi i objętości albo poprawne krawędzie 2,5 cm i 18 cm wraz z zastosowaniem wzoru. 1 pkt: właściwe obliczenie najkrótszej krawędzi, właściwe zależności długości lub jeden z równoważnych etapów określonych w zasadach. Błędne obie krawędzie bez pokazania metod ich obliczenia dają 0 pkt. Pomiar linijką jest niedopuszczalny.

Sprawdź: Nie można uznawać 20,5 cm i 23 cm z rysunku za krawędzie pojedynczego klocka. Podanie dwóch błędnych krawędzi bez metod ich wyznaczenia skutkuje 0 pkt. Brak ${\text{cm}}^3$ lub błędna jednostka wyniku jest błędem rachunkowym i wyklucza pełne 3 pkt.

Diagram słupkowy i procenty

Interpretacja czasu nauki w kolejnych dniach na diagramie słupkowym.

XXI.1 — odczyt i interpretacja diagramów słupkowych; VI.2 — procent wielkości w kontekście praktycznym; VI.3 — obliczenia zegarowe

Celem jest interpretacja diagramu; procenty i czas wspierają odczyt danych.

Porównywanie ułamków

Liczenie ułamków o ustalonym mianowniku, mieszczących się między dwiema liczbami.

IV.5 — zamiana ułamka niewłaściwego i liczby mieszanej

Cel stanowią warunki liczbowe dla ułamków, bez modelowania sytuacji praktycznej.

Średnia arytmetyczna

Ustalenie brakującej liczby i ocena średniej po dodaniu kolejnych składników.

XXI.2 — obliczanie średniej arytmetycznej

Główną badaną umiejętnością jest średnia arytmetyczna.

Działania na ułamkach ujemnych

Porównanie znaków i wartości sumy oraz iloczynu ułamków.

IV.12 — porównywanie ułamków; V.1 — działania na ułamkach zwykłych

Zadanie sprawdza rachunek i porównanie liczb wymiernych.

Kąty w trapezie

Wyznaczenie kąta z równoległości boków i odcinków w trapezie.

XVII.7 — obliczanie kątów z własności kątów i wielokątów

Celem jest miara kąta figury płaskiej.

Przekształcanie wzoru

Sprawdzenie przekształceń równania przy wyznaczaniu kolejnych liter.

XII.5 — wyznaczanie zadanej wielkości z prostego wzoru

Celem jest równoważne przekształcanie wzoru.

Działania na potęgach

Ocena poprawności dwóch praw działań na potęgach.

VII.2 — mnożenie i dzielenie potęg o dodatnich całkowitych wykładnikach; VII.4 — potęgowanie potęgi

Celem jest rachunek potęg, bez modelowania równaniem.

Prawdopodobieństwo bez zwracania

Obliczenie szansy na czerwony balon po dwóch losowaniach bez zwracania.

XX.2 — analiza prostego doświadczenia losowego i obliczanie prawdopodobieństwa

Głównym celem jest prawdopodobieństwo zdarzenia.

Nawiasy i redukcja wyrazów

Uproszczenie wyrażenia po wymnożeniu nawiasów.

X.3 — mnożenie sumy przez jednomian i dodawanie uzyskanych wyrażeń

Celem jest przekształcenie wyrażenia algebraicznego.

Obliczenia zegarowe

Ustalenie godziny odjazdu pociągu z czasu podróży i opóźnienia.

VI.3 — obliczenia zegarowe w godzinach i minutach

Celem jest obliczenie godziny w sytuacji praktycznej.

Wykres proporcjonalności prostej

Interpretacja wykresu zależności zużycia farby i pomalowanej powierzchni.

XIII.2 — wyznaczanie wartości w zależności wprost proporcjonalnej; XXI.1 — odczyt i interpretacja wykresów

Celem jest odczyt zależności z wykresu; pole występuje jako jednostka, bez obliczania figury.

Układ współrzędnych

Wskazanie punktu po zmianie obu jego współrzędnych.

XVIII.1 — wyznaczanie współrzędnych punktów kratowych

Celem są współrzędne punktu na płaszczyźnie.

Własności kwadratów i prostokąta

Wyznaczenie stosunku boków prostokąta podzielonego na kwadraty.

IX.4 — zapis zależności za pomocą wyrażeń algebraicznych; XVI.2 — własności kwadratu i prostokąta

Celem jest zależność boków figury wynikająca z jej podziału.

Pola trójkątów prostokątnych

Ocena długości boków i pola po wydłużeniu przyprostokątnych.

XVII.5 — stosowanie wzoru na pole trójkąta

Celem są własności i pole trójkąta.

Pole powierzchni ostrosłupa

Wyznaczenie części pola powierzchni ostrosłupa na podstawie pola jednej ściany.

IX.4 — zapis zależności jako wyrażenia algebraicznego; XIX.6 — pola powierzchni ostrosłupów prawidłowych

Celem są pola ścian bryły, więc geometria ma pierwszeństwo przed ułamkami i zapisem literowym.

Równanie z ułamkowymi częściami

Wyznaczenie liczby elementów zestawu puzzli z dwóch ułamkowych części.

XXII.5 — arytmetyczne rozwiązywanie zadań w kontekście praktycznym; XII.4 — rozwiązywanie zadania tekstowego równaniem liniowym; IV.1 — opis części całości ułamkiem

CKE wskazuje modelowanie równaniem XII.4; alternatywna metoda arytmetyczna nie zmienia kategorii.

Kryterium: 2 pkt: poprawna metoda i obliczenia prowadzące do liczby elementów jednego zestawu, albo zaakceptowana weryfikacja warunków metodą prób. 1 pkt m.in. za właściwe równanie lub poprawnie zapisaną zależność proporcjonalną; samego końcowego wyniku nie punktuje się.

Sprawdź: Zastąpienie ułamków zwykłych przybliżeniami daje według uwagi CKE 0 pkt. Trzeba też wskazać, że otrzymana liczba opisuje jeden zestaw puzzli.

Pole trapezu i twierdzenie Pitagorasa

Obliczenie pola trapezu z długości uzyskanych w podzielonym prostokącie.

XVI.4 — własności trójkąta równoramiennego; XVI.6 — zastosowanie twierdzenia Pitagorasa; XVII.5 — stosowanie wzoru na pole trapezu

Celem jest pole trapezu; wcześniejsze obliczenia wykorzystują własności trójkątów.

Kryterium: 3 pkt: poprawne wyznaczenie pola trapezu z obliczeniami i jednostką. 2 pkt m.in. za połączenie twierdzenia Pitagorasa, równości ramion odpowiedniego trójkąta i metody wyznaczenia podstawy; 1 pkt można otrzymać za jeden z opisanych poprawnych etapów.

Sprawdź: Podstaw nie wolno przyjąć bez uzasadnienia: same poprawne długości podstaw i poprawne obliczenie pola mogą dać tylko 1 pkt. Brak lub niewłaściwa jednostka pola jest tu traktowana jak błąd rachunkowy.

Ceny opakowań i przychód

Obliczenie przychodu ze sprzedaży truskawek w opakowaniach o różnych masach i cenach.

XXI.1 — odczyt i interpretacja tabeli; XXII.5 — arytmetyczne rozwiązywanie zadań praktycznych

Celem jest kwota sprzedaży, a CKE wskazuje arytmetykę praktyczną zamiast równania.

Kryterium: 3 pkt: poprawne wyrażenia i obliczenia przychodu ze wszystkich opakowań. 2 pkt m.in. za metodę obliczenia przychodu z dwóch typów opakowań; 1 pkt można otrzymać za jeden z wyszczególnionych etapów wyznaczania mas, liczby opakowań lub cen jednostkowych.

Sprawdź: Cena opakowania nie jest ceną kilograma: przed obliczeniem przychodu trzeba ustalić liczbę opakowań albo ceny za kilogram. W tym zadaniu stosowanie jednostki nie jest oceniane.

Objętość i wysokość ostrosłupa

Porównanie wysokości dwóch wież złożonych z sześcianów i ostrosłupa.

XIX.6 — obliczanie objętości ostrosłupa prawidłowego; XII.5 — wyznaczanie wielkości z wzoru geometrycznego

Celem jest wysokość bryły i różnica wysokości konstrukcji; przekształcenie wzoru jest narzędziem.

Kryterium: 2 pkt: poprawne wyznaczenie różnicy wysokości obu wież. 1 pkt: poprawna metoda obliczenia wysokości ostrosłupa z jego objętości i krawędzi podstawy.

Sprawdź: Na wyznaczeniu wysokości ostrosłupa nie można zakończyć: pytanie dotyczy różnicy wysokości dwóch wież. Sam poprawny wynik bez obliczeń daje 0 pkt; stosowanie jednostki nie jest oceniane.

Diagram słupkowy i procenty

Odczyt oszczędności z diagramu i porównanie ich z ceną deskorolki.

VII–VIII.V.3 — obliczanie, jaki procent liczby stanowi druga liczba; VII–VIII.XIII.1 — interpretacja diagramów słupkowych

Głównym celem jest interpretacja diagramu; ceny i procenty stanowią kontekst.

Działania na ułamkach i liczbach mieszanych

Obliczenie wyrażenia z ułamkiem dziesiętnym, liczbą mieszaną i ujemnym dzielnikiem.

IV–VI.V.7 — wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności działań

Celem jest wartość wyrażenia arytmetycznego.

Dzielenie z resztą

Rozpoznanie liczby dającej ustaloną resztę z dzielenia.

IV–VI.II.15 — dzielenie z resztą

Celem jest własność dzielenia liczb naturalnych.

Średnia arytmetyczna

Porównanie sum oraz wspólnej średniej dwóch grup liczb.

VII–VIII.XIII.3 — obliczanie średniej arytmetycznej

Celem jest średnia arytmetyczna, a nie modelowanie równaniem.

Wyznaczanie litery ze wzoru

Wyznaczenie długości oznaczonej literą z podanego wzoru obwodu.

VII–VIII.VI.5 — wyznaczanie wielkości z prostego wzoru geometrycznego

Wzór obwodu jest już podany; celem jest wyznaczenie litery, zgodnie z VI.5.

Zapis zależności wyrażeniem

Zapis łącznej liczby piłek przy podanych zależnościach między kolorami.

VII–VIII.III.3 — zapis zależności w postaci wyrażeń algebraicznych

Celem jest utworzenie wyrażenia algebraicznego opisującego zależności.

Pierwiastki i znaki wyrażeń

Ocena znaków wyrażeń z pierwiastkami i ułamkami.

IV–VI.V.7 — obliczanie wyrażeń arytmetycznych na liczbach wymiernych; VII–VIII.II.1 — obliczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych

Celem jest obliczenie i porównanie wartości liczbowych.

Iloraz potęg

Zapis ilorazu potęg jako jednej potęgi o zadanej podstawie.

VII–VIII.I.2 — mnożenie i dzielenie potęg o dodatnich całkowitych wykładnikach; VII–VIII.I.4 — potęgowanie potęgi

Celem jest rachunek potęg.

Droga, prędkość i czas

Obliczenie czasu przejazdu z drogi i prędkości rowerzysty.

IV–VI.XII.9 — obliczanie czasu z drogi i prędkości; jednostki km/h i m/s

Celem jest czas przejazdu w sytuacji praktycznej.

Prawdopodobieństwo losowania

Obliczenie prawdopodobieństwa pustego losu z dwóch zakresów numerów losów wygrywających.

VII–VIII.XII.2 — analiza doświadczenia losowego i obliczanie prawdopodobieństwa

Celem jest prawdopodobieństwo zdarzenia.

Pole trójkąta i twierdzenie Pitagorasa

Ocena wysokości i pól trójkątów z odcinkiem poprowadzonym do środka boku.

IV–VI.XI.3 — obliczanie pola trójkąta; VII–VIII.VIII.7 — zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Celem są długości i pola trójkątów.

Oś liczbowa i liczby całkowite

Interpretacja równych podziałów odcinka na osi liczbowej.

IV–VI.III.2 — interpretacja liczb całkowitych na osi liczbowej; IV–VI.III.5 — proste działania na liczbach całkowitych

Celem są wartości liczb całkowitych na osi, bez zadania o figurze na płaszczyźnie.

Obwód trapezu

Obliczenie obwodu trapezu z własności kwadratu i rombu.

IV–VI.IX.5 — własności kwadratu, rombu i trapezu; IV–VI.XI.2 — obliczanie obwodu wielokąta

Celem jest obwód wielokąta.

Równoległobok w układzie współrzędnych

Wyznaczenie brakującego wierzchołka równoległoboku na płaszczyźnie.

IV–VI.IX.5 — własności równoległoboku; VII–VIII.X.2 — wyznaczanie współrzędnych punktów kratowych

Celem są współrzędne wierzchołka figury.

Pole powierzchni prostopadłościanu

Obliczenie całkowitego pola powierzchni prostopadłościanu z długości trzech krawędzi.

IV–VI.XI.6 — obliczanie pola powierzchni prostopadłościanu

Celem jest pole powierzchni bryły.

Ułamki i uzasadnienie rachunkowe

Uzasadnienie, że brakujący składnik sumy jest ułamkiem o liczniku jeden.

IV–VI.V.1 — dodawanie i odejmowanie ułamków; IV–VI.IV.3 — skracanie i rozszerzanie ułamków

Uzasadnienie dotyczy konkretnych działań na ułamkach; sama forma dowodu nie oznacza algebry.

Kryterium: 2 pkt: obliczenia uzasadniające, że trzeci składnik ma licznik 1 i dodatni całkowity mianownik. 1 pkt m.in. za poprawne wyrażenie różnicy, równanie prowadzące do składnika lub wskazaną w kryteriach równość bez obliczeń.

Sprawdź: Samo dopisanie właściwego trzeciego składnika do równości, bez pokazania rachunku, nie wystarcza na pełne 2 pkt. Należy wykazać postać ułamka po skróceniu.

Równanie opisujące zależności

Wyznaczenie liczby plakatów trojga przyjaciół z zależności między ich kolekcjami.

VII–VIII.VI.4 — rozwiązywanie zadania tekstowego równaniem liniowym

Jedynym szczegółowym wymaganiem CKE jest VI.4: modelowanie zadania tekstowego równaniem.

Kryterium: 3 pkt: poprawna metoda i wszystkie trzy liczby plakatów, albo pełna zaakceptowana metoda graficzna lub prób. 2 pkt m.in. za właściwe równanie; 1 pkt m.in. za spójne wyrażenia jednej zmiennej opisujące trzy kolekcje.

Sprawdź: Całkowite zastąpienie ułamków przybliżeniami daje 0 pkt. Sprawdzenie tylko jednego, nawet właściwego zestawu liczb metodą prób daje najwyżej 1 pkt; trzeba zachować przypisanie liczb do imion.

Kąty trapezu i równoległoboku

Obliczenie trzech kątów trapezu podzielonego na równoległobok i trójkąt.

IV–VI.VIII.6 — własności kątów wierzchołkowych i przyległych; IV–VI.IX.3 — suma kątów trójkąta; IV–VI.IX.5 — własności równoległoboku i trapezu; VII–VIII.VIII.3 — kąty przy prostych równoległych

Celem są kąty figury płaskiej.

Kryterium: 2 pkt: poprawna metoda i trzy wymagane miary kątów trapezu. 1 pkt: metoda wyznaczenia dwóch kątów albo dwie poprawnie ustalone miary bez przedstawienia sposobu.

Sprawdź: Odpowiedź musi obejmować wszystkie trzy wskazane kąty wraz z metodą obliczenia. Dwie ustalone miary, nawet bez pokazania sposobu, mogą dać 1 pkt zamiast pełnych 2 pkt.

Skala i stosunek pól

Porównanie pól dwóch tablic po przeliczeniu długości z rysunku w skali.

IV–VI.XI.3 — obliczanie pola kwadratu i prostokąta; IV–VI.XII.8 — przeliczanie długości według skali

Celem jest stosunek pól figur; skala jest wcześniejszym narzędziem obliczeń.

Kryterium: 2 pkt: poprawna metoda i stosunek pól tablic, również metodą poprawnie przedstawionych zależności długości. 1 pkt m.in. za poprawne przeliczenie długości według skali oraz poprawną metodę wyznaczenia jednego z pól.

Sprawdź: Skala dotyczy długości, dlatego nie można pomnożyć pola małej tablicy przez sam współczynnik skali 20. Najpierw należy sprowadzić porównywane pola do tej samej skali; jednostki nie są oceniane.

Pole czworokąta przez podział

Obliczenie pola czworokąta wydzielonego w kwadracie o podzielonych bokach.

IV–VI.XI.3 — obliczanie pól podstawowych figur; IV–VI.XI.5 — obliczanie pola przez podział lub uzupełnianie figury; IV–VI.IV.1 — opis części całości ułamkiem

Celem jest pole wielokąta; ułamki opisują podział boków.

Kryterium: 3 pkt: poprawna metoda i obliczenie pola czworokąta z jednostką. 2 pkt: poprawny sposób wyznaczenia całego pola lub jego udziału w kwadracie; 1 pkt m.in. za poprawny etap obliczenia jednej figury pomocniczej.

Sprawdź: CKE nie akceptuje rozwiązania opartego na pomiarze rysunku linijką. Długości trzeba wyprowadzić z podziałów boków; brak lub niewłaściwa jednostka pola jest tu traktowana jak błąd rachunkowy.

Krawędzie ostrosłupa

Obliczenie sumy krawędzi ostrosłupa z pola i wysokości jednej ściany bocznej.

VII–VIII.VIII.7 — zastosowanie twierdzenia Pitagorasa; VII–VIII.IX.2 — wzór pola trójkąta również do wyznaczania długości; VII–VIII.XI.1 — rozpoznawanie ostrosłupów prawidłowych

Celem są długości krawędzi bryły; równanie ze wzoru pola jest narzędziem.

Kryterium: 3 pkt: poprawna metoda i obliczenie sumy krawędzi. 2 pkt m.in. za metodę wyznaczenia krawędzi podstawy i bocznej; 1 pkt można otrzymać za poprawne wyznaczanie krawędzi podstawy lub właściwą zależność Pitagorasa dla krawędzi bocznej. Jednostki nie są oceniane.

Sprawdź: Wysokość ściany bocznej nie jest krawędzią boczną ostrosłupa. Krawędź boczną trzeba wyznaczyć osobno i uwzględnić wszystkie osiem krawędzi; same długości zapisane na rysunku z dalszą poprawną sumą dają najwyżej 2 pkt.