Matura podstawowa · Ciąg arytmetyczny
Rosnące wpłaty i próg oszczędności
Co wyróżnia ciąg arytmetyczny?
W ciągu arytmetycznym różnica między każdym wyrazem a poprzednim jest stała i wynosi r. Dla dodatniego całkowitego numeru n korzystasz z = + (n − 1)r, rozróżniając numer wyrazu n od jego wartości .
TWOJA PRÓBA
Treść zadania
Ola zaczyna odkładanie pieniędzy od 0 zł. Pod koniec pierwszego tygodnia odkłada 12 zł, a pod koniec każdego następnego tygodnia o 3 zł więcej niż tydzień wcześniej. Nie wypłaca pieniędzy i nie otrzymuje odsetek. Po ilu pełnych tygodniach po raz pierwszy będzie miała co najmniej 200 zł? Podaj także kwotę zgromadzoną wtedy.
PO WŁASNYCH OBLICZENIACHOdpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź
Po 9 pełnych tygodniach: 216 zł
Rozwiązanie krok po kroku
Jedna wpłata jest wyrazem ciągu; zgromadzona kwota jest sumą wszystkich wpłat. Sprawdzamy dwa sąsiednie tygodnie przy przekroczeniu progu.
oznacza kwotę jednej wpłaty w tygodniu n, więc = 12 + 3(n − 1).
oznacza zgromadzoną kwotę po n wpłatach.
Ze wzoru na sumę po uproszczeniu otrzymujemy = n · .
Po ósmym tygodniu = 33 zł i = · 8 = 180 zł.
Po dziewiątym tygodniu = 36 zł i = · 9 = 216 zł.
Każda wpłata jest dodatnia, więc zgromadzona kwota rośnie.
Skoro po ośmiu tygodniach jest mniej niż 200 zł, a po dziewięciu co najmniej 200 zł, pierwszy taki moment następuje po 9 pełnych tygodniach.
Ola ma wtedy 216 zł.
Źródła i kontekst
- CKE: Informator maturalny z matematyki — poziom podstawowy
Informator od roku szkolnego 2024/2025; wymagania działu VI. Ciągi, m.in. sprawdzanie arytmetyczności i wykorzystanie własności ciągów. Przykłady nie wyczerpują zakresu egzaminu.
- CKE: Wybrane wzory matematyczne — Formuła 2023
Dział 8. Ciągi, strona 9: wzór ogólny, suma i zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.