Mathematyczka
Otwórz materiały Program i cena matury
Menu
Program i cena matury

Matura podstawowa — Formuła 2023 · Trygonometria

Kąty we współrzędnych z tangensa i cosinusa — CKE grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 16

W skrócie

Jak wyznaczyć funkcje trygonometryczne z punktu na ramieniu kąta?

Dla punktu (x, y) ≠ (0, 0) na końcowym ramieniu kąta α w położeniu standardowym sinαsin α = yry/r i cosαcos α = xrx/r, gdzie r = (x2+y2)√(x^2 + y^2), a tgαtg α = yxy/x dla x ≠ 0. Znaki tych wartości wynikają ze znaków współrzędnych, dlatego odczytaj właściwą ćwiartkę przed obliczeniami.

Angelika Sak — nauczycielka matematyki
Angelika SakMathematyczka

TWOJA PRÓBA

Treść zadania

Dane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki: α ∈ (0°; 180°) i tgαtg α = −23−2/3 oraz β ∈ (0°; 180°) i cosβcos β = 1101/√10. Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x; y) zaznaczono różne kąty, w tym kąty α oraz β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F. Uzupełnij tabelę, wpisując właściwe odpowiedzi spośród liter A–F.

Sześć oryginalnych rysunków kątów A–F. Drugie ramiona przechodzą przez A = (−2; 3), B = (−3; 2), C = (3; 2), D = (1; 3), E = (−1; 3), F = (3; 1).

Kąt α jest zaznaczony na rysunku

  1. Odpowiedź A: Rysunek A
  2. Odpowiedź B: Rysunek B
  3. Odpowiedź C: Rysunek C
  4. Odpowiedź D: Rysunek D
  5. Odpowiedź E: Rysunek E
  6. Odpowiedź F: Rysunek F

Kąt β jest zaznaczony na rysunku

  1. Odpowiedź A: Rysunek A
  2. Odpowiedź B: Rysunek B
  3. Odpowiedź C: Rysunek C
  4. Odpowiedź D: Rysunek D
  5. Odpowiedź E: Rysunek E
  6. Odpowiedź F: Rysunek F
Źródło zadaniaCKE — matura podstawowa, grudzień 2023, Formuła 2023, zadanie 16, wersja A
PO WŁASNYCH OBLICZENIACHOdpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź

16.1. B; 16.2. D.

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Dla punktu (x; y) na drugim ramieniu kąta mamy tg = yxy/x oraz cos = x(x2+y2)x/√(x² + y²).

  2. Kąt α ma ujemny tangens i należy do (0°; 180°), więc leży w drugiej ćwiartce. Punkt B = (−3; 2) daje tgαtg α = 2(−3)2/(−3) = −23−2/3.

  3. Dodatni cosinus β oznacza pierwszą ćwiartkę. Punkt D = (1; 3) daje cosβcos β = 1(1+9)1/√(1 + 9) = 1101/√10.

Źródła i kontekst

KOLEJNA WŁASNA PRÓBA

Wróć do katalogu zadań
CENTRUM PRYWATNOŚCI

Wybierz, na co pozwalasz

Każda opcjonalna kategoria jest domyślnie wyłączona. Odmowa nie ogranicza dostępu do podstawowej treści strony.