Matura podstawowa — Formuła 2023 · Optymalizacja
Największa powierzchnia prostopadłościanu — CKE maj 2025, Formuła 2023, zadanie 31
Jak szukać maksimum funkcji kwadratowej w zadaniu z treścią?
W optymalizacji szukasz największej lub najmniejszej wartości funkcji w dziedzinie wynikającej z treści zadania. Dla funkcji kwadratowej sprawdź wierzchołek, jeśli jest dopuszczalny, i pozostałe wartości wymagane przez granice dziedziny lub całkowitość zmiennej.
TWOJA PRÓBA
Treść zadania
Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka B jest równa 15 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
PO WŁASNYCH OBLICZENIACHOdpowiedź i rozwiązanie
Odpowiedź
P(x) = −2 + 22x + 88; x ∈ (0; 11); największe pole dla x = .
Rozwiązanie krok po kroku
Długości trzech krawędzi wychodzących z B to x, 4 i 11 − x, ponieważ ich suma wynosi 15.
Każda długość musi być dodatnia, więc 0 < x < 11.
Pole całkowite: P(x) = 2(4x + 4(11 − x) + x(11 − x)) = −2 + 22x + 88.
Parabola ma ramiona skierowane w dół. Wierzchołek ma argument x = = .
Liczba należy do dziedziny. To szukana długość; maksymalne pole wynosi .
Źródła i kontekst
- Publiczne archiwalne opracowanie Mathematyczki (PDF)
Źródłowy PDF pozostaje dostępny; rozwiązanie HTML przeliczono niezależnie.
- Oryginalny arkusz CKE — maj 2025, Formuła 2023
Rok, sesję, formułę i treść zweryfikowano wewnątrz dokumentu.