DZIAŁ 03 · FIGURY I BRYŁY

Geometria płaska i przestrzenna na egzamin ósmoklasisty

W skrócie

Jak rozróżnić obwód, pole i objętość w zadaniu geometrycznym?

Obwód opisuje długość brzegu figury, pole jej powierzchnię, a objętość przestrzeń zajmowaną przez bryłę. Rozpoznaj szukaną wielkość i założenia wzoru, a wynik zapisz w jednostkach długości, kwadratowych albo sześciennych.

Zrób szkic, oznacz dane i rozróżnij długość, pole oraz objętość. Gdy używasz wysokości figury, sprawdź, czy jest prostopadła do odpowiedniej podstawy.

Zobacz przykłady Przejdź do własnej próby

Treści i rozwiązania na tej stronie czytasz bez konta.

01 · Zrozum

Od czego zacząć?

Obwód wielokąta to suma długości jego boków, pole opisuje powierzchnię, a objętość zajmowaną przestrzeń. Długość zapisujesz np. w cm, pole w $cm^2$ , objętość w $cm^3$ . Twierdzenie Pitagorasa stosujesz do trójkąta prostokątnego.

Zakres wymagań w tym dziale

Otwórz grupę i porównaj wymagania z tym, co już potrafisz. Oznaczenia punktów odpowiadają źródłu podanemu na końcu strony. Na przykład IV–VI.II.11 oznacza klasy IV–VI, dział II, punkt 11.

Wymagania szczegółowe: 54

Proste i odcinkiWymagania: 5

IV-VI.VII.1Rozpoznaję i nazywam punkt, prostą, półprostą oraz odcinek.
IV-VI.VII.2Rozpoznaję prostopadłość i równoległość prostych oraz odcinków.
IV-VI.VII.3Rysuję pary odcinków prostopadłych i równoległych.
IV-VI.VII.4Mierzę długość odcinka z dokładnością do 1 mm.
IV-VI.VII.5Wyznaczam odległość punktu od prostej.

KątyWymagania: 6

IV-VI.VIII.1Wskazuję wierzchołek i ramiona kąta.
IV-VI.VIII.2Mierzę kąty mniejsze od 180° z dokładnością do 1°.
IV-VI.VIII.3Rysuję kąty mniejsze od 180°.
IV-VI.VIII.4Rozpoznaję kąty proste, ostre i rozwarte.
IV-VI.VIII.5Porównuję kąty.
IV-VI.VIII.6Rozpoznaję kąty wierzchołkowe i przyległe oraz stosuję ich własności.

Wielokąty, koła i okręgiWymagania: 8

IV-VI.IX.1Rozpoznaję trójkąty ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne.
IV-VI.IX.2Konstruuję trójkąt z trzech danych boków i sprawdzam, czy taki trójkąt może powstać.
IV-VI.IX.3Korzystam z sumy kątów wewnętrznych trójkąta.
IV-VI.IX.4Rozpoznaję kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez.
IV-VI.IX.5Stosuję podstawowe własności poznanych czworokątów oraz rozpoznaję figury osiowosymetryczne i ich osie symetrii.
IV-VI.IX.6Wskazuję cięciwę, średnicę i promień koła lub okręgu.
IV-VI.IX.7Rysuję cięciwę, a przy znanym środku także promień i średnicę koła lub okręgu.
IV-VI.IX.8Wyznaczam kąty trójkąta równoramiennego z jednego znanego kąta oraz jego boki z obwodu i długości jednego boku.

BryłyWymagania: 5

IV-VI.X.1Rozpoznaję w modelach i sytuacjach praktycznych graniastosłup prosty, ostrosłup, walec, stożek i kulę.
IV-VI.X.2Rozpoznaję prostopadłościan i sześcian wśród graniastosłupów oraz uzasadniam wybór.
IV-VI.X.3Rozpoznaję siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów.
IV-VI.X.4Rysuję siatki prostopadłościanów.
IV-VI.X.5Wyznaczam długości krawędzi graniastosłupa na podstawie podanych zależności.

Obliczenia w geometriiWymagania: 7

IV-VI.XI.1Obliczam kąty, korzystając z własności kątów i wielokątów.
IV-VI.XI.2Obliczam obwód wielokąta z długości jego boków.
IV-VI.XI.3Obliczam pola trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku i trapezu, także w zadaniach wymagających zamiany jednostek.
IV-VI.XI.4Posługuję się jednostkami pola: $mm²$ , $cm²$ , d $m²$ , $m²$ , $km²$ , ar i hektar; w tym punkcie bez zamiany jednostek podczas obliczeń.
IV-VI.XI.5Obliczam pole wielokąta przez podział na mniejsze figury lub uzupełnienie do większej figury.
IV-VI.XI.6Obliczam objętość i pole powierzchni prostopadłościanu o danych krawędziach.
IV-VI.XI.7Posługuję się jednostkami objętości i pojemności: $cm³$ , d $m³$ , $m³$ , mililitr i litr.

Własności figur geometrycznych na płaszczyźnieWymagania: 8

VII-VIII.VIII.1Uzasadniam i stosuję równość kątów wierzchołkowych, korzystając z kątów przyległych.
VII-VIII.VIII.2Rysuję proste w różnych położeniach, w tym prostopadłe i równoległe.
VII-VIII.VIII.3Przy prostych równoległych wykorzystuję równość kątów odpowiadających i naprzemianległych.
VII-VIII.VIII.4Stosuję cechy przystawania trójkątów.
VII-VIII.VIII.5Stosuję nierówność trójkąta: suma dwóch odległości jest nie mniejsza od trzeciej; równość zachodzi, gdy punkt pośredni leży na odcinku między pozostałymi.
VII-VIII.VIII.6Obliczam kąty i długości w prostych zadaniach z sumą kątów trójkąta i własnościami trójkąta równoramiennego.
VII-VIII.VIII.7Stosuję twierdzenie Pitagorasa, także w praktyce; twierdzenie odwrotne nie jest wymagane w tym punkcie.
VII-VIII.VIII.8Przeprowadzam proste dowody geometryczne do poziomu trudności przykładów w podstawie, uzasadniając zależności kątów lub równość odcinków.

WielokątyWymagania: 2

VII-VIII.IX.1Rozumiem, czym jest wielokąt foremny.
VII-VIII.IX.2Obliczam pola poznanych wielokątów i wyznaczam z wzorów długości odcinków, do poziomu trudności przykładów w podstawie.

Oś liczbowa i układ współrzędnych na płaszczyźnieWymagania: 6

VII-VIII.X.1Zaznaczam na osi zbiory liczb spełniających podany warunek, rozróżniając uwzględnienie i wyłączenie punktu granicznego.
VII-VIII.X.2Odczytuję współrzędne punktów kratowych z rysunku.
VII-VIII.X.3Zaznaczam punkty o całkowitych współrzędnych dowolnego znaku.
VII-VIII.X.4Wyznaczam środek odcinka o wymiernych współrzędnych końców oraz drugi koniec, gdy znam jeden koniec i środek.
VII-VIII.X.5Obliczam odległość między danymi punktami kratowymi.
VII-VIII.X.6Wskazuję inne punkty kratowe leżące na prostej wyznaczonej przez dwa dane punkty kratowe.

Geometria przestrzennaWymagania: 3

VII-VIII.XI.1Rozpoznaję graniastosłupy i ostrosłupy, w tym bryły proste oraz prawidłowe.
VII-VIII.XI.2Obliczam objętość i pole powierzchni graniastosłupów prostych, prawidłowych i nieprawidłowych, do poziomu trudności przykładu w podstawie.
VII-VIII.XI.3Obliczam objętość oraz pole powierzchni ostrosłupów prawidłowych i nieprawidłowych, do poziomu trudności przykładu w podstawie.

Długość okręgu i pole kołaWymagania: 4

VII-VIII.XIV.1Obliczam długość okręgu z podanego promienia lub średnicy.
VII-VIII.XIV.2Wyznaczam promień lub średnicę z długości okręgu.
VII-VIII.XIV.3Obliczam pole koła z podanego promienia lub średnicy.
VII-VIII.XIV.4Wyznaczam promień lub średnicę koła z jego pola.

02 · Prześledź rozwiązanie

Przykłady krok po kroku

Przeczytaj polecenie i spróbuj zapisać pierwszy krok. Rozwiń rozwiązanie, gdy chcesz sprawdzić sposób liczenia.

Przykład 01

Długość przeciwprostokątnej

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości 6 cm i 8 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie i odpowiedź

Oznacz przeciwprostokątną przez c. Leży naprzeciw kąta prostego.
Z twierdzenia Pitagorasa: $c^2$ = $6^2$ + $8^2$ = 36 + 64 = 100.
Długość jest dodatnia, więc c = $√100$ = 10.

Odpowiedź

Przeciwprostokątna ma długość 10 cm.

Zapamiętaj: Kwadrat przeciwprostokątnej jest sumą kwadratów przyprostokątnych. Dłuższy bok nie może znaleźć się po niewłaściwej stronie wzoru.

Przykład 02

Pole i obwód to różne wielkości

Prostokąt ma boki 3 cm i 0,4 dm. Oblicz jego pole i obwód.

Rozwiązanie i odpowiedź

Sprowadź długości do jednej jednostki: 0,4 dm = 4 cm.
Pole: P = 3 · 4 = 12 $cm^2$ .
Obwód: O = 2 · 3 + 2 · 4 = 14 cm.

Odpowiedź

Pole: 12 $cm^2$ . Obwód: 14 cm.

Zapamiętaj: Przy zamianie jednostek pola mnożnik trzeba podnieść do kwadratu: 1 d $m^2$ = 100 $cm^2$ .

Przykład 03

Objętość i pole powierzchni prostopadłościanu

Prostopadłościan ma wymiary 3 cm, 4 cm i 5 cm. Oblicz objętość i pole całej powierzchni.

Rozwiązanie i odpowiedź

Objętość: V = 3 · 4 · 5 = 60 $cm^3$ .
Są trzy pary ścian o polach 12 $cm^2$ , 15 $cm^2$ oraz 20 $cm^2$ .
Pole powierzchni: P = 2 · (12 + 15 + 20) = 94 $cm^2$ .

Odpowiedź

Objętość: 60 $cm^3$ . Pole powierzchni: 94 $cm^2$ .

Zapamiętaj: Objętość i pole powierzchni wymagają różnych wzorów i różnych jednostek.

Przykład 04

Promień, pole koła i długość okręgu

Koło ma średnicę 10 cm. Oblicz jego pole i długość okręgu ograniczającego to koło. Zostaw π w wyniku.

Rozwiązanie i odpowiedź

Promień jest połową średnicy: r = $10/2$ = 5 cm.
Pole koła: P = π $r^2$ = π · $5^2$ = 25π $cm^2$ .
Długość okręgu: L = 2πr = 2π · 5 = 10π cm.

Odpowiedź

Pole koła: 25π $cm^2$ . Długość okręgu: 10π cm.

Zapamiętaj: Do obu wzorów podstawiasz promień, a nie średnicę. Koło opisuje powierzchnię, okrąg jej brzeg; wynik z π jest dokładny.

03 · Spróbuj samodzielnie

Zadania do własnej próby

Wybierz zadanie, rozwiąż je na kartce i porównaj z opisanym rozwiązaniem. Przy każdym zadaniu znajdziesz jego źródło.

Zadania w tym dziale: 60

Pole koła i długość okręguZadania: 8

Twierdzenie PitagorasaZadania: 8

Pola figur i modelowanie objętościZadania: 26

Praca z arkuszemZadania: 1

Średnica zamiast promienia we wzorze na pole

Miniarkusz i diagnozaZadania: 2

GeometriaZadania: 2

8 obszarów E8Zadania: 2

Kąty i własności figurZadania: 7

Układ współrzędnychZadania: 3

Koło i okrągZadania: 1

Cięciwa, promień i długość okręgu — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 15Zadanie CKE

Zobacz całą bazę zadań E8

Przed sprawdzeniem odpowiedzi

Na co uważać?

Sprowadź dane do zgodnych jednostek przed podstawieniem do wzoru.
W trójkącie wysokość do wybranej podstawy jest do niej prostopadła; nie każdy bok jest wysokością.
Twierdzenie Pitagorasa wymaga kąta prostego. Sprawdź oznaczenie lub uzasadnij, że taki kąt występuje.
W polu powierzchni bryły uwzględnij wszystkie ściany wskazane w poleceniu. Dla graniastosłupa objętość to pole podstawy razy wysokość bryły; dla ostrosłupa to jedna trzecia tego iloczynu.

Wróć do potrzebnego tematu

Materiały do powtórki

04 · Płatny kurs E8

Kurs E8 z Angeliką

Jeśli potrzebujesz wyjaśnień na wideo do kolejnych tematów, zobacz program, darmowe lekcje i cenę kursu E8.

Zobacz program i cenę kursu E8

Zaplanuj kolejną powtórkę

Pozostałe działy E8

Wróć do pełnej mapy przygotowań

Zakres i pochodzenie materiałów

Źródła i aktualność

Wersja opracowania: 10 października 2026.

Na egzaminie ósmoklasisty w 2027 r. obowiązuje podstawa programowa z 2024 r. Nowa podstawa z 2026 r. obejmuje od roku szkolnego 2026/2027 klasy I i IV oraz kolejne klasy tych roczników; obecna klasa VIII realizuje dotychczasową podstawę. Katalog obejmuje wszystkie 157 punktów szczegółowych z działów I–XIV klas IV–VI i I–XIV klas VII–VIII oraz 10 punktów ogólnych. Dział XV „Symetrie” klas VII–VIII może być realizowany po egzaminie; nie należy utożsamiać go z wymaganym wcześniej rozpoznawaniem osi symetrii znanych figur (IV–VI.IX.5). Podstawa przewiduje używanie kalkulatora w niektórych ćwiczeniach szkolnych, ale arkusz standardowy E8 rozwiązuje się bez kalkulatora; przyznane dostosowania określa odrębny komunikat CKE. Jest to mapa umiejętności, a nie prognoza zadań, które pojawią się w konkretnym arkuszu.

Podstawa programowa 2024 — matematyka, strony 182–194 (otwiera się w nowej karcie)
Rozporządzenie z 28 czerwca 2024 r., Dz.U. poz. 996, ogłoszone 5 lipca 2024 r.; wymagania ogólne, szczegółowe i warunki realizacji.
CKE: informator z matematyki od roku szkolnego 2024/2025 (otwiera się w nowej karcie)
Wersja standardowa, Warszawa 2025, strony 5–7: zakres, rodzaje zadań, 125 minut i 30 punktów; przykłady nie wyczerpują wymagań.
CKE/OKE: podstawa egzaminów w 2027 r. (otwiera się w nowej karcie)
Publikacja OKE z 2 października 2026 r. dotycząca informacji dyrektora CKE z 30 września 2026 r.; E8 2027 opiera się na podstawie z 2024 r.
Podstawa programowa 2026 — przepisy przejściowe, § 4 (otwiera się w nowej karcie)
Rozporządzenie z 11 marca 2026 r., Dz.U. poz. 378, ogłoszone 20 marca 2026 r.; nowa podstawa wchodzi stopniowo od klas I i IV.

Geometria płaska i przestrzenna na egzamin ósmoklasisty

Jak rozróżnić obwód, pole i objętość w zadaniu geometrycznym?

Od czego zacząć?

Zakres wymagań w tym dziale

Przykłady krok po kroku

Długość przeciwprostokątnej

Pole i obwód to różne wielkości

Objętość i pole powierzchni prostopadłościanu

Promień, pole koła i długość okręgu

Zadania do własnej próby

Na co uważać?

Materiały do powtórki

Kurs E8 z Angeliką

Pozostałe działy E8

Źródła i aktualność

Wybierz ustawienia prywatności.

Wybierz, na co pozwalasz