Mathematyczka
Otwórz materiały Program i cena E8
Menu
Program i cena E8

DZIAŁ 04 · ZASTOSOWANIA

Procenty, prędkość, dane i prawdopodobieństwo na E8

W skrócie

Jak używać matematyki w zadaniach praktycznych?

Zadania praktyczne łączą odczyt danych z rachunkami, procentami, jednostkami, statystyką lub prawdopodobieństwem. Najpierw ustal, czego dotyczy pytanie i co oznaczają dane, następnie dobierz działanie i sprawdź jednostkę oraz sens wyniku.

Ustal całość dla procentów, jednostki dla prędkości i wszystkie możliwości w losowaniu. Informacje w tabeli lub na wykresie traktuj jak dane z treści zadania: najpierw odczytaj skalę i opis osi.

Zobacz przykłady Przejdź do własnej próby

Treści i rozwiązania na tej stronie czytasz bez konta.

01 · Zrozum

Od czego zacząć?

Procent oznacza część ze stu. Prędkość średnia to cała droga podzielona przez cały czas. Średnia arytmetyczna to suma wartości podzielona przez ich liczbę. W prostym losowaniu z jednakowo prawdopodobnymi wynikami prawdopodobieństwo to liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich możliwych wyników.

Zakres wymagań w tym dziale

Otwórz grupę i porównaj wymagania z tym, co już potrafisz. Oznaczenia punktów odpowiadają źródłu podanemu na końcu strony. Na przykład IV–VI.II.11 oznacza klasy IV–VI, dział II, punkt 11.

Wymagania szczegółowe: 24

Obliczenia praktyczneWymagania: 9
  • IV-VI.XII.1Rozumiem 100% jako całość, 50% jako połowę, 25% jako ćwierć, 10% jako jedną dziesiątą, a 1% jako jedną setną.
  • IV-VI.XII.2Obliczam proste procenty danej wielkości w praktyce, np. 50%, 20% i 10%.
  • IV-VI.XII.3Wykonuję proste obliczenia czasu z godzinami, minutami i sekundami.
  • IV-VI.XII.4Wykonuję proste obliczenia kalendarzowe z dniami, tygodniami, miesiącami i latami.
  • IV-VI.XII.5Odczytuję temperaturę dodatnią i ujemną.
  • IV-VI.XII.6Stosuję i zamieniam jednostki długości: mm, cm, dm, m i km.
  • IV-VI.XII.7Stosuję i zamieniam jednostki masy: g, dag, kg i t.
  • IV-VI.XII.8Obliczam długość rzeczywistą z długości w skali oraz długość w skali z długości rzeczywistej.
  • IV-VI.XII.9Obliczam drogę, prędkość i czas z dwóch pozostałych wielkości oraz stosuję jednostki km/h i m/s.
Elementy statystyki opisowejWymagania: 2
  • IV-VI.XIII.1Zbieram i porządkuję dane.
  • IV-VI.XIII.2Odczytuję i opisuję dane z tekstów, tabel, diagramów i wykresów: wartości, ekstrema oraz wzrost, spadek lub stałość wartości.
Obliczenia procentoweWymagania: 5
  • VII-VIII.V.1Przedstawiam część wielkości jako procent całości.
  • VII-VIII.V.2Obliczam wskazany procent danej liczby.
  • VII-VIII.V.3Obliczam, jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba.
  • VII-VIII.V.4Wyznaczam całość, gdy znam wartość jej podanego procentu.
  • VII-VIII.V.5Rozwiązuję praktyczne problemy procentowe, także z dwiema kolejnymi podwyżkami lub obniżkami.
Proporcjonalność prostaWymagania: 3
  • VII-VIII.VII.1Rozpoznaję i podaję przykłady wielkości wprost proporcjonalnych.
  • VII-VIII.VII.2Wyznaczam wartość wielkości w konkretnej zależności wprost proporcjonalnej, np. koszt przy stałej cenie za sztukę.
  • VII-VIII.VII.3Dzielę wielkość proporcjonalnie do podanego stosunku.
Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwaWymagania: 2
  • VII-VIII.XII.1Wyznaczam i zliczam obiekty o zadanej własności w prostych przypadkach niewymagających reguły mnożenia ani dodawania.
  • VII-VIII.XII.2Analizuję proste doświadczenia z monetą, kostką sześcienną lub wielościenną i losowaniem kul oraz obliczam prawdopodobieństwo zdarzeń.
Odczytywanie danych i elementy statystyki opisowejWymagania: 3
  • VII-VIII.XIII.1Interpretuję tabele, diagramy słupkowe i kołowe oraz wykresy, także w układzie współrzędnych.
  • VII-VIII.XIII.2Tworzę diagramy słupkowe i kołowe oraz wykresy liniowe z własnych lub otrzymanych danych.
  • VII-VIII.XIII.3Obliczam średnią arytmetyczną kilku liczb.

02 · Prześledź rozwiązanie

Przykłady krok po kroku

Przeczytaj polecenie i spróbuj zapisać pierwszy krok. Rozwiń rozwiązanie, gdy chcesz sprawdzić sposób liczenia.

Przykład 01

Cena po obniżce procentowej

Cena 240 zł została obniżona o 15%. Ile kosztuje produkt po obniżce?

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Cena przed obniżką, 240 zł, jest tutaj całością: 100%.
  2. Obniżka: 1510015/100 · 240 = 36 zł.
  3. Nowa cena: 240 − 36 = 204 zł. Możesz też obliczyć 8510085/100 · 240.
Odpowiedź

204 zł.

Zapamiętaj: Kwota obniżki i nowa cena to dwie różne odpowiedzi. Sprawdź, o którą pyta polecenie.

Przykład 02

Prędkość średnia z całej podróży

Rowerzysta przejechał 12 km w 40 min, a potem 8 km w 20 min. Podany czas obejmuje całą podróż. Oblicz prędkość średnią w km/h.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Cała droga: 12 + 8 = 20 km.
  2. Cały czas: 40 + 20 = 60 min = 1 h.
  3. Prędkość średnia w km/h: v = 20120/1 = 20 km/h.
Odpowiedź

20 km/h.

Zapamiętaj: Prędkości odcinków wynoszą 18 km/h i 24 km/h. Ich średnia arytmetyczna 21 km/h nie opisuje tej podróży, bo czasy odcinków są różne. Jeśli zadanie wlicza postoje do czasu podróży, uwzględnij je w mianowniku.

Przykład 03

Średnia, gdy wyniki się powtarzają

Podano wyniki: 4; 5; 5; 6; 10 punktów. Oblicz średnią arytmetyczną wyników.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Zsumuj wszystkie pięć wyników: 4 + 5 + 5 + 6 + 10 = 30.
  2. Podziel sumę przez liczbę wyników: 30530/5 = 6.
Odpowiedź

Średnia wynosi 6 punktów.

Zapamiętaj: Wynik 5 występuje dwa razy, więc liczy się dwa razy w sumie i w liczbie obserwacji.

Przykład 04

Jedno losowanie i wszystkie możliwości

W worku są 3 czerwone i 5 niebieskich kul jednakowych rozmiarów. Każda kula ma taką samą szansę wylosowania. Losujesz jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo czerwonej kuli?

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Wszystkich możliwych wyników jest 3 + 5 = 8: każda z ośmiu kul.
  2. Wyników sprzyjających jest 3: trzy czerwone kule.
  3. Prawdopodobieństwo: P = 383/8 = 0,375 = 37,5%.
Odpowiedź

383/8, czyli 37,5%.

Zapamiętaj: Kolory nie są jednakowo prawdopodobne. W mianowniku uwzględniasz wszystkie kule, a nie tylko dwa kolory.

03 · Spróbuj samodzielnie

Zadania do własnej próby

Wybierz zadanie, rozwiąż je na kartce i porównaj z opisanym rozwiązaniem. Przy każdym zadaniu znajdziesz jego źródło.

Zadania w tym dziale: 112

Procent części i udziałuZadania: 8
  1. Procent danej liczby — zadanie 1
  2. Udział procentowy części — zadanie 1
  3. Udział procentowy części — zadanie 2
  4. Procent danej liczby — zadanie 2
  5. Procenty w dwóch grupach — zadanie 1
  6. Procent masy i wspólne jednostki — zadanie 1
  7. Procenty w dwóch grupach — zadanie 2
  8. Procent i ułamek budżetu — zadanie 1
Odtwarzanie całości z procentuZadania: 8
  1. Cena przed zmianą procentową — zadanie 1
  2. Odtwarzanie całości z jej procentu — zadanie 1
  3. Cena przed zmianą procentową — zadanie 2
  4. Cena przed zmianą procentową — zadanie 3
  5. Cena przed dwiema obniżkami — zadanie 1
  6. Liczba osób z udziału procentowego — zadanie 1
  7. Całość z brakującej części lub obniżki — zadanie 1
  8. Całość z brakującej części lub obniżki — zadanie 2
Czas i jego jednostkiZadania: 9
  1. Zamiana jednostek czasu — zadanie 1
  2. Zamiana jednostek czasu — zadanie 2
  3. Zamiana jednostek czasu — zadanie 3
  4. Godzina rozpoczęcia i zakończenia — zadanie 1
  5. Godzina odjazdu pociągu — CKE maj 2024, zadanie 10Zadanie CKE
  6. Czas ćwiczeń i przerw — zadanie 1
  7. Godzina rozpoczęcia i zakończenia — zadanie 3
  8. Czas zapisany ułamkiem godziny — zadanie 1
  9. Pełne nagrania w dwudziestu minutach — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 3Zadanie CKE
Droga, czas i średnia prędkośćZadania: 7
  1. Średnia prędkość na odcinku — zadanie 1
  2. Droga przy stałej prędkości — zadanie 1
  3. Średnia prędkość na odcinku — zadanie 2
  4. Droga przy stałej prędkości — zadanie 2
  5. Czas pokonania drogi — zadanie 2
  6. Średnia prędkość z odpoczynkiem — zadanie 1
  7. Średnia prędkość na dwóch odcinkach — zadanie 1
Średnia arytmetycznaZadania: 12
  1. Średnia arytmetyczna — zadanie 1
  2. Średnia arytmetyczna — zadanie 2
  3. Średnia przy powtarzających się wynikach — zadanie 1
  4. Brakująca liczba i znana średnia — zadanie 1
  5. Średnia po dodaniu pomiaru — zadanie 1
  6. Średnia z liczebnościami — zadanie 1
  7. Średnia dwóch grup — zadanie 1
  8. Średnia po usunięciu liczby — zadanie 1
  9. Średnia po dodaniu liczb — CKE maj 2024, zadanie 3Zadanie CKE
  10. Dwie średnie i wspólna suma — CKE maj 2025, zadanie 4Zadanie CKE
  11. Średnia bez znajomości wszystkich składników — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 8Zadanie CKE
  12. Liczba stron z pięciodniowej średniej — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 1Zadanie CKE
Prawdopodobieństwo prostego losowaniaZadania: 8
  1. Prawdopodobieństwo koloru kuli — zadanie 1
  2. Prawdopodobieństwo wyniku na kostce — zadanie 1
  3. Prawdopodobieństwo przeciwnego koloru — zadanie 1
  4. Losowanie numerowanych kartoników — zadanie 1
  5. Losowanie po usunięciu kul — zadanie 1
  6. Suma wyników dwóch kostek — zadanie 1
  7. Losowanie numerowanych kartoników — zadanie 2
  8. Liczba kul z prawdopodobieństwa — zadanie 1
Odczytywanie i porównywanie danychZadania: 8
  1. Łączna liczba z zestawienia — zadanie 1
  2. Różnica wartości w zestawieniu — zadanie 1
  3. Skala symboli na diagramie — zadanie 1
  4. Udział procentowy z ankiety — zadanie 1
  5. Pozostała kwota w budżecie — zadanie 1
  6. Porównywanie ceny za kilogram — zadanie 1
  7. Udział i punkty procentowe — zadanie 1
  8. Udział po zmianie liczby uczestników — zadanie 1
Jednostki prędkości i inne jednostki w praktyceZadania: 8
  1. Przeliczanie jednostek prędkości — zadanie 1
  2. Przeliczanie jednostek prędkości — zadanie 2
  3. Zamiana jednostek długości — zadanie 1
  4. Porównywanie prędkości — zadanie 1
  5. Zamiana jednostek pola — zadanie 1
  6. Litry i centymetry sześcienne — zadanie 1
  7. Przepływ w litrach na minutę — zadanie 1
  8. Przeliczanie jednostek prędkości — zadanie 3
Droga, prędkość i czasZadania: 3
  1. Czas przejazdu rowerzysty — CKE maj 2025, zadanie 9Zadanie CKE
  2. Średnia prędkość na odcinku pomiarowym — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 14Zadanie CKE
  3. Porównanie czasu przejazdu dwóch osób — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 18Zadanie CKE
Zmiany procentoweZadania: 8
  1. Cena po jednej zmianie procentowej — zadanie 1
  2. Cena po jednej zmianie procentowej — zadanie 2
  3. O ile procent zmieniła się wartość — zadanie 1
  4. Dwie kolejne zmiany ceny — zadanie 1
  5. Dwie kolejne zmiany ceny — zadanie 2
  6. O ile procent zmieniła się wartość — zadanie 2
  7. Porównanie dwóch promocji — zadanie 1
  8. Powrót do ceny początkowej — zadanie 1
Prędkość, droga, czasZadania: 5
  1. Droga pieszego w 35 minut
  2. Średnia prędkość autobusu
  3. Czas przejazdu 30 kilometrów
  4. Czas biegu na 1500 metrów
  5. Średnia prędkość wycieczki z odpoczynkiem
Jednostki czasuZadania: 6
  1. 45 minut jako część godziny
  2. 1,4 godziny w godzinach i minutach
  3. 2 godziny 36 minut w zapisie dziesiętnym
  4. 750 sekund w minutach i sekundach
  5. Godzina zakończenia seansu
  6. Podróż przez północ
Jednostki prędkościZadania: 5
  1. 90 km/h w metrach na sekundę
  2. 7,5 m/s w kilometrach na godzinę
  3. 180 metrów na minutę w dwóch jednostkach
  4. 1,2 km/min w kilometrach na godzinę
  5. Porównanie 14 m/s i 48 km/h
Praca z arkuszemZadania: 1
  1. Poprawianie błędu w zamianie czasu
Miniarkusz i diagnozaZadania: 3
  1. Cena plecaka przed obniżką
  2. Średnia prędkość na 12 kilometrach
  3. Prawdopodobieństwo kuli, która nie jest zielona
8 obszarów E8Zadania: 2
  1. Czas przejazdu przy prędkości 12 km/h
  2. Średnia czterech liczb z karty E8
Odczytywanie danych i procentyZadania: 3
  1. Czas nauki na diagramie — CKE maj 2024, zadanie 1Zadanie CKE
  2. Oszczędności odczytane z diagramu — CKE maj 2025, zadanie 1Zadanie CKE
  3. Liczby uczniów z diagramu procentowego — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 7Zadanie CKE
PrawdopodobieństwoZadania: 4
  1. Losowanie balonów bez zwracania — CKE maj 2024, zadanie 8Zadanie CKE
  2. Pusty los na loterii — CKE maj 2025, zadanie 10Zadanie CKE
  3. Prawdopodobieństwo białej kuli — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 5Zadanie CKE
  4. Losowanie karty z figurą — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 6Zadanie CKE
Procenty i obliczenia praktyczneZadania: 3
  1. Przychód ze sprzedaży truskawek — CKE maj 2024, zadanie 18Zadanie CKE
  2. Liczba kostek lodu z wody — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 21Zadanie CKE
  3. Uzasadnienie różnicy cen po dwóch zmianach — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 16Zadanie CKE
Jednostki i proporcjeZadania: 1
  1. Etykieta śmietany i jednostki masy — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 1Zadanie CKE
Zobacz całą bazę zadań E8

Przed sprawdzeniem odpowiedzi

Na co uważać?

  • Wskaż całość dla każdego procentu. Kolejna obniżka może odnosić się do nowej ceny.
  • W przeliczeniu prędkości 1 m/s = 3,6 km/h. Przy przejściu z km/h na m/s dziel przez 3,6.
  • Kwadrans to 15 min = 141/4 h, a nie 0,15 h.
  • Na wykresie odczytaj jednostkę i odstęp między oznaczeniami osi; nie zakładaj, że każdy odstęp oznacza jedną jednostkę.
  • W zadaniu o losowaniu sprawdź, czy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne i czy losowanie odbywa się ze zwracaniem.

Wróć do potrzebnego tematu

Materiały do powtórki

04 · Płatny kurs E8

Kurs E8 z Angeliką

Jeśli potrzebujesz wyjaśnień na wideo do kolejnych tematów, zobacz program, darmowe lekcje i cenę kursu E8.

Zobacz program i cenę kursu E8

Zaplanuj kolejną powtórkę

Pozostałe działy E8

Wróć do pełnej mapy przygotowań

Zakres i pochodzenie materiałów

Źródła i aktualność

Wersja opracowania: .

Na egzaminie ósmoklasisty w 2027 r. obowiązuje podstawa programowa z 2024 r. Nowa podstawa z 2026 r. obejmuje od roku szkolnego 2026/2027 klasy I i IV oraz kolejne klasy tych roczników; obecna klasa VIII realizuje dotychczasową podstawę. Katalog obejmuje wszystkie 157 punktów szczegółowych z działów I–XIV klas IV–VI i I–XIV klas VII–VIII oraz 10 punktów ogólnych. Dział XV „Symetrie” klas VII–VIII może być realizowany po egzaminie; nie należy utożsamiać go z wymaganym wcześniej rozpoznawaniem osi symetrii znanych figur (IV–VI.IX.5). Podstawa przewiduje używanie kalkulatora w niektórych ćwiczeniach szkolnych, ale arkusz standardowy E8 rozwiązuje się bez kalkulatora; przyznane dostosowania określa odrębny komunikat CKE. Jest to mapa umiejętności, a nie prognoza zadań, które pojawią się w konkretnym arkuszu.

CENTRUM PRYWATNOŚCI

Wybierz, na co pozwalasz

Każda opcjonalna kategoria jest domyślnie wyłączona. Odmowa nie ogranicza dostępu do podstawowej treści strony.