Mathematyczka
Otwórz materiały Program i cena E8
Menu
Program i cena E8

DZIAŁ 02 · ALGEBRA

Równania i zadania z treścią na egzamin ósmoklasisty

W skrócie

Jak przełożyć zadanie z treścią na równanie?

Oznacz niewiadomą, zapisz jej znaczenie oraz przełóż warunki z treści na równość. Przekształcaj obie strony w sposób zachowujący równość, a otrzymany wynik sprawdź zarówno w równaniu, jak i w ograniczeniach opisanej sytuacji.

Oznacz niewiadomą i napisz, co oznacza. Potem przełóż warunki z treści na równanie, wykonaj te same działania po obu stronach i sprawdź odpowiedź w kontekście zadania.

Zobacz przykłady Przejdź do własnej próby

Treści i rozwiązania na tej stronie czytasz bez konta.

01 · Zrozum

Od czego zacząć?

Równanie zachowuje równość, gdy do obu stron dodasz tę samą liczbę lub odejmiesz tę samą liczbę, a także gdy obie strony pomnożysz lub podzielisz przez tę samą liczbę różną od zera.

Zakres wymagań w tym dziale

Otwórz grupę i porównaj wymagania z tym, co już potrafisz. Oznaczenia punktów odpowiadają źródłu podanemu na końcu strony. Na przykład IV–VI.II.11 oznacza klasy IV–VI, dział II, punkt 11.

Wymagania szczegółowe: 23

Elementy algebryWymagania: 3
  • IV-VI.VI.1Korzystam z prostych wzorów z literami i wyjaśniam ich znaczenie słowami.
  • IV-VI.VI.2Oznaczam nieznane wielkości literami i zapisuję proste wyrażenia opisujące sytuację praktyczną.
  • IV-VI.VI.3Rozwiązuję proste równania pierwszego stopnia z niewiadomą po jednej stronie, także przez dopełnianie lub działanie odwrotne.
Zadania tekstoweWymagania: 7
  • IV-VI.XIV.1Rozumiem tekst zadania zawierający informacje liczbowe.
  • IV-VI.XIV.2Przygotowuję rozwiązanie, zapisując dane lub wykonując rysunek pomocniczy.
  • IV-VI.XIV.3Rozpoznaję zależności między informacjami z treści zadania.
  • IV-VI.XIV.4Dzielę rozwiązanie na etapy i dobieram poprawną własną strategię.
  • IV-VI.XIV.5Rozwiązuję problemy praktyczne, łącząc arytmetykę, geometrię i umiejętności rachunkowe.
  • IV-VI.XIV.6Sprawdzam sensowność odpowiedzi przez szacowanie, warunki zadania i ocenę wielkości wyniku.
  • IV-VI.XIV.7Układam i rozwiązuję zadania lub łamigłówki oraz zadaję dalsze pytania dotyczące rozwiązanego problemu.
Tworzenie wyrażeń algebraicznych z jedną i wieloma zmiennymiWymagania: 4
  • VII-VIII.III.1Zapisuję wynik działań jako wyrażenie algebraiczne z jedną lub kilkoma zmiennymi.
  • VII-VIII.III.2Obliczam wartość liczbową wyrażenia algebraicznego.
  • VII-VIII.III.3Zapisuję zależności z zadania jako wyrażenia z jedną lub kilkoma zmiennymi.
  • VII-VIII.III.4Przedstawiam rozwiązanie zadania w postaci wyrażeń algebraicznych, z zachowaniem poziomu trudności podstawy.
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych i sumy algebraiczneWymagania: 4
  • VII-VIII.IV.1Porządkuję jednomiany i dodaję jednomiany podobne.
  • VII-VIII.IV.2Dodaję i odejmuję sumy algebraiczne, redukując wyrazy podobne.
  • VII-VIII.IV.3Mnożę sumę algebraiczną przez jednomian i dodaję otrzymane wyrażenia.
  • VII-VIII.IV.4Mnożę dwumian przez dwumian i redukuję wyrazy podobne.
Równania z jedną niewiadomąWymagania: 5
  • VII-VIII.VI.1Sprawdzam przez podstawienie, czy podana liczba spełnia równanie pierwszego, drugiego lub trzeciego stopnia.
  • VII-VIII.VI.2Rozwiązuję równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, wykonując przekształcenia równoważne.
  • VII-VIII.VI.3Rozwiązuję równania sprowadzające się po prostych przekształceniach do równania pierwszego stopnia.
  • VII-VIII.VI.4Rozwiązuję zadania tekstowe równaniem pierwszego stopnia, także zadania procentowe.
  • VII-VIII.VI.5Przekształcam prosty wzór geometryczny lub fizyczny, aby wyznaczyć wskazaną wielkość.

02 · Prześledź rozwiązanie

Przykłady krok po kroku

Przeczytaj polecenie i spróbuj zapisać pierwszy krok. Rozwiń rozwiązanie, gdy chcesz sprawdzić sposób liczenia.

Przykład 01

Wyrażenie z nawiasem

Uprość 3(2x − 4) + x.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Pomnóż każdy składnik nawiasu przez 3: 3(2x − 4) = 6x − 12.
  2. Połącz wyrazy podobne: 6x − 12 + x = 7x − 12.
Odpowiedź

7x − 12.

Zapamiętaj: Możesz połączyć składniki z takim samym wyrażeniem literowym. Liczba −12 nie jest wyrazem podobnym do 7x.

Przykład 02

Niewiadoma po obu stronach

Rozwiąż 3x + 5 = 2x + 17.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Odejmij 2x od obu stron: x + 5 = 17.
  2. Odejmij 5 od obu stron: x = 12.
  3. Sprawdź: 3 · 12 + 5 = 41 oraz 2 · 12 + 17 = 41.
Odpowiedź

x = 12.

Zapamiętaj: Kontrola przez podstawienie pozwala znaleźć pomyłkę w znaku lub rachunkach.

Przykład 03

Dwie liczby opisane w treści

Suma dwóch liczb wynosi 38. Druga liczba jest o 6 większa od pierwszej. Znajdź obie liczby.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Niech x oznacza pierwszą liczbę. Druga liczba to x + 6.
  2. Zapisz sumę: x + (x + 6) = 38, czyli 2x + 6 = 38.
  3. Odejmij 6 i podziel obie strony przez 2: 2x = 32, więc x = 16.
  4. Druga liczba wynosi 22. Sprawdzenie: 16 + 22 = 38 oraz 22 − 16 = 6.
Odpowiedź

Pierwsza liczba: 16. Druga liczba: 22.

Zapamiętaj: „O 6 większa” oznacza dodanie 6. „Sześć razy większa” opisuje mnożenie przez 6.

03 · Spróbuj samodzielnie

Zadania do własnej próby

Wybierz zadanie, rozwiąż je na kartce i porównaj z opisanym rozwiązaniem. Przy każdym zadaniu znajdziesz jego źródło.

Zadania w tym dziale: 37

Wartości i przekształcanie wyrażeńZadania: 9
  1. Wartość wyrażenia po podstawieniu — zadanie 1
  2. Redukcja wyrazów podobnych — zadanie 1
  3. Usuwanie nawiasów — zadanie 1
  4. Wartość wyrażenia po podstawieniu — zadanie 2
  5. Usuwanie nawiasów — zadanie 2
  6. Nawiasy w wyrażeniu algebraicznym — CKE maj 2024, zadanie 9Zadanie CKE
  7. Redukcja wyrazów podobnych — zadanie 2
  8. Wartość wyrażenia po podstawieniu — zadanie 3
  9. Redukcja wyrażenia z pięcioma odpowiedziami — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 3Zadanie CKE
Równania linioweZadania: 8
  1. Równanie z nawiasami — zadanie 1
  2. Równanie z jednym działaniem — zadanie 1
  3. Równanie z jednym działaniem — zadanie 2
  4. Niewiadoma po obu stronach równania — zadanie 1
  5. Równanie z ułamkami — zadanie 1
  6. Równanie z nawiasami — zadanie 2
  7. Równanie z ułamkami — zadanie 2
  8. Niewiadoma po obu stronach równania — zadanie 2
Modelowanie zależności i zadań tekstowychZadania: 16
  1. Wyrażenie opisujące liczbę piłek — CKE maj 2025, zadanie 6Zadanie CKE
  2. Opłata stała i koszt kolejnych godzin — zadanie 1
  3. Równanie z treści zadania — zadanie 1
  4. Równanie z treści zadania — zadanie 2
  5. Wyznaczanie zmiennej ze wzoru — zadanie 1
  6. Proporcjonalne zwiększenie liczby porcji — zadanie 1
  7. Równanie z treści zadania — zadanie 3
  8. Liczba patyczków w szeregu kwadratów — zadanie 1
  9. Przekształcanie wzoru — CKE maj 2024, zadanie 6Zadanie CKE
  10. Farba i proporcjonalność prosta — CKE maj 2024, zadanie 11Zadanie CKE
  11. Dwa zestawy puzzli — CKE maj 2024, zadanie 16Zadanie CKE
  12. Bok pięciokąta wyznaczony z obwodu — CKE maj 2025, zadanie 5Zadanie CKE
  13. Plakaty trojga przyjaciół — CKE maj 2025, zadanie 17Zadanie CKE
  14. Uzasadnienie równoboczności trójkąta — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 17Zadanie CKE
  15. Ceny sprzętu narciarskiego — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 19Zadanie CKE
  16. Wyrażenie opisujące sumę wieku — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 11Zadanie CKE
Praca z arkuszemZadania: 1
  1. Wybór działania w równaniu procentowym
Miniarkusz i diagnozaZadania: 1
  1. Równanie 3(2x − 1) = 4x + 7
8 obszarów E8Zadania: 1
  1. Równanie z nawiasem i odjętą liczbą
Równania pierwszego stopniaZadania: 1
  1. Równanie z ułamkiem algebraicznym — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 8Zadanie CKE
Zobacz całą bazę zadań E8

Przed sprawdzeniem odpowiedzi

Na co uważać?

  • Napisz, co oznacza x, zanim ułożysz równanie.
  • Przy minusie przed nawiasem zmień znak każdego składnika: −(x − 4) = −x + 4.
  • Nie dziel przez zero. W równaniu sprawdź, czy liczba, przez którą dzielisz obie strony, jest różna od zera.
  • Sprawdź nie tylko równanie, ale też warunki z treści: liczba przedmiotów musi być całkowita i nieujemna.

Wróć do potrzebnego tematu

Materiały do powtórki

04 · Płatny kurs E8

Kurs E8 z Angeliką

Jeśli potrzebujesz wyjaśnień na wideo do kolejnych tematów, zobacz program, darmowe lekcje i cenę kursu E8.

Zobacz program i cenę kursu E8

Zaplanuj kolejną powtórkę

Pozostałe działy E8

Wróć do pełnej mapy przygotowań

Zakres i pochodzenie materiałów

Źródła i aktualność

Wersja opracowania: .

Na egzaminie ósmoklasisty w 2027 r. obowiązuje podstawa programowa z 2024 r. Nowa podstawa z 2026 r. obejmuje od roku szkolnego 2026/2027 klasy I i IV oraz kolejne klasy tych roczników; obecna klasa VIII realizuje dotychczasową podstawę. Katalog obejmuje wszystkie 157 punktów szczegółowych z działów I–XIV klas IV–VI i I–XIV klas VII–VIII oraz 10 punktów ogólnych. Dział XV „Symetrie” klas VII–VIII może być realizowany po egzaminie; nie należy utożsamiać go z wymaganym wcześniej rozpoznawaniem osi symetrii znanych figur (IV–VI.IX.5). Podstawa przewiduje używanie kalkulatora w niektórych ćwiczeniach szkolnych, ale arkusz standardowy E8 rozwiązuje się bez kalkulatora; przyznane dostosowania określa odrębny komunikat CKE. Jest to mapa umiejętności, a nie prognoza zadań, które pojawią się w konkretnym arkuszu.

CENTRUM PRYWATNOŚCI

Wybierz, na co pozwalasz

Każda opcjonalna kategoria jest domyślnie wyłączona. Odmowa nie ogranicza dostępu do podstawowej treści strony.