Jak obliczyć pole trójkąta równobocznego bez gotowego wzoru?

Użyj wzoru P = $\frac{\left(a·h\right)}{2}$ i oblicz brakującą wysokość z twierdzenia Pitagorasa. W trójkącie równobocznym wysokość daje dwa trójkąty prostokątne o znanych przeciwprostokątnych i jednej znanej przyprostokątnej.

Wysokość dzieli podstawę na połowy, bo otrzymane trójkąty prostokątne mają wspólną wysokość i równe przeciwprostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa ich pozostałe przyprostokątne mają taką samą długość, więc każda jest połową podstawy.

1. 01

   Narysuj trójkąt i wysokość

   W trójkącie ABC wszystkie boki mają długość 6 cm. Z wierzchołka C poprowadź wysokość do podstawy AB; punkt przecięcia nazwij D.

2. 02

   Znajdź kąt prosty i równe boki

   Trójkąty ACD i BCD są prostokątne. Boki AC oraz BC są ich przeciwprostokątnymi i mają po 6 cm; odcinek CD jest wspólną przyprostokątną.

3. 03

   Podziel podstawę na połowy

   Odcinki AD i DB mają równe długości i razem tworzą podstawę długości 6 cm. Każdy ma więc $\frac{6}{2}$ = 3 cm.

Wysokość wynosi 3$\sqrt{3}$ cm. W jednym z dwóch trójkątów prostokątnych znasz przeciwprostokątną 6 cm i drugą przyprostokątną 3 cm; wysokość h jest szukaną przyprostokątną.

1. 01

   Zapisz równanie dla właściwego trójkąta

   $h^2$ + $3^2$ = $6^2$. Suma kwadratów przyprostokątnych jest kwadratem przeciwprostokątnej.

2. 02

   Odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej

   $h^2$ = $6^2$ − $3^2$ = 36 − 9 = 27.

3. 03

   Wybierz dodatnią długość

   h = $\sqrt{27}$ cm = $\sqrt{\left(9·3\right)}$ cm = 3$\sqrt{3}$ cm. Wysokość jest długością, więc wybierasz dodatni wynik.

Pomnóż podstawę 6 cm przez odpowiadającą jej wysokość 3$\sqrt{3}$ cm i podziel przez 2. Pole wynosi 9$\sqrt{3}$ ${\text{cm}}^2$; pozostawienie pierwiastka daje dokładny wynik.

1. 01

   Podstaw wysokość do wzoru na pole

   P = $\frac{\left(a·h\right)}{2}$. Dla a = 6 cm i h = 3$\sqrt{3}$ cm masz P = $\frac{\left(6·3\sqrt{3}\right)}{2}$ ${\text{cm}}^2$.

2. 02

   Uprość iloczyn i ułamek

   P = $\frac{18\sqrt{3}}{2}$ ${\text{cm}}^2$ = 9$\sqrt{3}$ ${\text{cm}}^2$.

3. 03

   Sprawdź jednostkę

   Mnożysz dwie długości podane w centymetrach, więc pole zapisujesz w ${\text{cm}}^2$, a nie w cm.

Nie podstawiaj długości boku zamiast wysokości i nie zamieniaj ${\text{cm}}^2$ na cm. Wysokość jest prostopadła do podstawy; bok 6 cm nie spełnia tej roli w tym trójkącie.

• Zaznacz na szkicu kąt prosty między wysokością a podstawą.
• W trójkącie prostokątnym umieść kwadrat boku 6 cm po stronie przeciwprostokątnej.
• Dla boku a połowa podstawy to $\frac{a}{2}$; nie jest to cała wysokość.
• Po obliczeniu wysokości wróć do P = $\frac{\left(a·h\right)}{2}$ i dopisz jednostkę pola.

W każdym zadaniu znajdź długość boku i połowy podstawy, następnie oblicz wysokość oraz pole. Zostaw pierwiastek w dokładnej odpowiedzi, a rozwiązanie sprawdź po własnej próbie.

1. Trójkąt równoboczny ma bok długości 4 cm. Oblicz wysokość i pole, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
2. Trójkąt równoboczny ma bok długości 10 cm. Oblicz wysokość i pole bez użycia osobnego wzoru na pole trójkąta równobocznego.
3. Obwód trójkąta równobocznego wynosi 24 cm. Oblicz jego wysokość i pole.