Mathematyczka
Otwórz materiały Program i cena E8
Menu
Program i cena E8

DZIAŁ 01 · RACHUNKI

Liczby, potęgi i pierwiastki na egzamin ósmoklasisty

W skrócie

Od czego zacząć powtórkę liczb, potęg i pierwiastków?

Podstawą są działania na liczbach i ułamkach, kolejność działań oraz rozróżnianie podstawy i wykładnika potęgi. Przy pierwiastku kwadratowym z liczby nieujemnej wybierasz wynik nieujemny, a wzory na potęgi i pierwiastki stosujesz po sprawdzeniu ich warunków.

Przećwicz odejmowanie ułamków, różnicę między potęgą liczby ujemnej a minusem przed potęgą oraz wyłączanie czynnika przed pierwiastek. Przy każdym przykładzie znajdziesz zapis obliczeń i wyjaśnienie użytej reguły.

Zobacz przykłady Przejdź do własnej próby

Treści i rozwiązania na tej stronie czytasz bez konta.

01 · Zrozum

Od czego zacząć?

Przy dodawaniu ułamków najpierw znajdź wspólny mianownik. W potęgach ustal podstawę i wykładnik, a przy pierwiastku kwadratowym szukaj nieujemnej liczby, której kwadrat daje liczbę pod pierwiastkiem.

Zakres wymagań w tym dziale

Otwórz grupę i porównaj wymagania z tym, co już potrafisz. Oznaczenia punktów odpowiadają źródłu podanemu na końcu strony. Na przykład IV–VI.II.11 oznacza klasy IV–VI, dział II, punkt 11.

Wymagania szczegółowe: 56

Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnymWymagania: 5
  • IV-VI.I.1Odczytuję i zapisuję wielocyfrowe liczby naturalne.
  • IV-VI.I.2Odczytuję i przedstawiam liczby naturalne na osi liczbowej.
  • IV-VI.I.3Porównuję liczby naturalne.
  • IV-VI.I.4Zaokrąglam liczby naturalne.
  • IV-VI.I.5Zamieniam zapis rzymski na dziesiątkowy i odwrotnie dla liczb do 3000.
Działania na liczbach naturalnychWymagania: 15
  • IV-VI.II.1Dodaję i odejmuję w pamięci liczby naturalne, w tym liczbę jednocyfrową od dowolnej liczby.
  • IV-VI.II.2Dodaję i odejmuję wielocyfrowe liczby naturalne pisemnie; w nauce szkolnej także na kalkulatorze.
  • IV-VI.II.3Mnożę i dzielę liczby naturalne przez liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe: pisemnie, w prostych przykładach w pamięci, a podczas nauki także na kalkulatorze.
  • IV-VI.II.4Ułatwiam rachunki, stosując przemienność, łączność i rozdzielność mnożenia względem dodawania.
  • IV-VI.II.5Porównuję liczby naturalne, obliczając ich różnicę lub iloraz.
  • IV-VI.II.6Rozpoznaję podzielność przez 2, 3, 4, 5, 9, 10 i 100.
  • IV-VI.II.7Rozpoznaję złożone liczby jedno- i dwucyfrowe oraz liczby, których złożoność wynika z cechy podzielności.
  • IV-VI.II.8Obliczam kwadraty i sześciany liczb naturalnych.
  • IV-VI.II.9Zachowuję właściwą kolejność działań.
  • IV-VI.II.10Szacuję wyniki obliczeń.
  • IV-VI.II.11Wyznaczam NWD i NWW dwóch liczb naturalnych najwyżej trzycyfrowych przez rozkład na czynniki.
  • IV-VI.II.12Rozpoznaję wielokrotności, kwadraty, sześciany, liczby pierwsze i liczby złożone.
  • IV-VI.II.13Zliczam liczby o zadanej własności w niewielkim zakresie, gdy mogę wypisać wszystkie spełniające warunki.
  • IV-VI.II.14Rozkładam liczby naturalne najwyżej trzycyfrowe na czynniki pierwsze, z najwyżej jednym czynnikiem większym od 10.
  • IV-VI.II.15Dzielę z resztą i zapisuję zależność a = b · q + r, gdzie q jest ilorazem, a reszta r spełnia 0 ≤ r < b.
Liczby całkowiteWymagania: 5
  • IV-VI.III.1Podaję przykłady używania liczb ujemnych w praktyce.
  • IV-VI.III.2Odczytuję i przedstawiam liczby całkowite na osi liczbowej.
  • IV-VI.III.3Obliczam wartość bezwzględną liczby.
  • IV-VI.III.4Porównuję liczby całkowite.
  • IV-VI.III.5Wykonuję proste działania w pamięci na liczbach całkowitych.
Ułamki zwykłe i dziesiętneWymagania: 14
  • IV-VI.IV.1Opisuję ułamkiem część całości.
  • IV-VI.IV.2Odczytuję ułamek jako iloraz liczb naturalnych i zapisuję taki iloraz jako ułamek, z niezerowym mianownikiem.
  • IV-VI.IV.3Skracam i rozszerzam ułamki zwykłe.
  • IV-VI.IV.4Sprowadzam ułamki zwykłe do wspólnego mianownika.
  • IV-VI.IV.5Zamieniam ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną i odwrotnie.
  • IV-VI.IV.6Zamieniam zapis w dwóch jednostkach na zapis dziesiętny w jednej jednostce i odwrotnie.
  • IV-VI.IV.7Zaznaczam i odczytuję ułamki zwykłe oraz dziesiętne na osi liczbowej.
  • IV-VI.IV.8Zapisuję skończone ułamki dziesiętne jako ułamki zwykłe.
  • IV-VI.IV.9Zamieniam ułamki zwykłe o mianownikach dzielących 10, 100, 1000 itd. na skończone rozwinięcia dziesiętne.
  • IV-VI.IV.10Uzyskuję nieskończone rozwinięcia dziesiętne innych ułamków, dzieląc licznik przez mianownik.
  • IV-VI.IV.11Zaokrąglam liczby dziesiętne w sytuacji praktycznej, do najwyżej dwóch miejsc po przecinku.
  • IV-VI.IV.12Porównuję ułamki zwykłe i dziesiętne.
  • IV-VI.IV.13Wyznaczam całość, gdy znam jej część opisaną ułamkiem.
  • IV-VI.IV.14Obliczam wynik powiększenia lub pomniejszenia liczby o określoną część innej liczby.
Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnychWymagania: 7
  • IV-VI.V.1Wykonuję cztery działania na ułamkach zwykłych o mianownikach jedno- lub dwucyfrowych i na liczbach mieszanych.
  • IV-VI.V.2Wykonuję cztery działania na ułamkach dziesiętnych: proste w pamięci, pisemnie przy łącznie najwyżej sześciu cyfrach różnych od zera, a w trudniejszych ćwiczeniach szkolnych na kalkulatorze.
  • IV-VI.V.3Porównuję ułamki za pomocą ich różnicy.
  • IV-VI.V.4Obliczam ułamek danej liczby całkowitej.
  • IV-VI.V.5Obliczam kwadraty i sześciany ułamków zwykłych, dziesiętnych oraz liczb mieszanych.
  • IV-VI.V.6Dobieram poprawną własną strategię działań na ułamkach dziesiętnych; w nauce szkolnej mogę używać kalkulatora.
  • IV-VI.V.7Obliczam wyrażenia z liczbami całkowitymi, ułamkami i liczbami mieszanymi, także ujemnymi, zachowując kolejność działań i poziom trudności podany w podstawie.
Potęgi o podstawach wymiernychWymagania: 5
  • VII-VIII.I.1Zapisuję iloczyn jednakowych czynników jako potęgę o dodatnim wykładniku całkowitym.
  • VII-VIII.I.2Mnożę i dzielę potęgi o dodatnich wykładnikach całkowitych.
  • VII-VIII.I.3Mnożę potęgi o różnych podstawach i tym samym wykładniku.
  • VII-VIII.I.4Podnoszę potęgę do potęgi.
  • VII-VIII.I.5Odczytuję i zapisuję notację wykładniczą a · 10k10^k, gdzie 1 ≤ a < 10, a wykładnik k jest całkowity.
PierwiastkiWymagania: 5
  • VII-VIII.II.1Obliczam pierwiastki kwadratowe i sześcienne z odpowiednich kwadratów i sześcianów liczb wymiernych.
  • VII-VIII.II.2Szacuję pierwiastek kwadratowy lub sześcienny oraz wartość wyrażenia z pierwiastkami.
  • VII-VIII.II.3Porównuję wartość wyrażenia z pierwiastkami z liczbami wymiernymi i wskazuję liczby od niej mniejsze lub większe.
  • VII-VIII.II.4Obliczam pierwiastek z iloczynu i ilorazu oraz wyłączam czynnik przed znak pierwiastka i włączam go pod pierwiastek.
  • VII-VIII.II.5Mnożę i dzielę pierwiastki tego samego stopnia.

02 · Prześledź rozwiązanie

Przykłady krok po kroku

Przeczytaj polecenie i spróbuj zapisać pierwszy krok. Rozwiń rozwiązanie, gdy chcesz sprawdzić sposób liczenia.

Przykład 01

Ułamki: wspólny mianownik

Oblicz 343/4 − 161/6.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Najmniejsza wspólna wielokrotność 4 i 6 to 12.
  2. Rozszerz ułamki: 343/4 = 9129/12 i 161/6 = 2122/12.
  3. Odejmij liczniki przy tym samym mianowniku: 9129/12 − 2122/12 = 7127/12.
Odpowiedź

7127/12.

Zapamiętaj: Mianownik opisuje wielkość części. Przy dodawaniu i odejmowaniu nie dodajemy ani nie odejmujemy mianowników.

Przykład 02

Minus i nawias przy potędze

Porównaj wartości (−3)2(−3)^2 i −323^2.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. W (−3)2(−3)^2 podstawą jest cała liczba −3: (−3) · (−3) = 9.
  2. W −323^2 potęgujesz 3, a potem stosujesz minus: −(3 · 3) = −9.
Odpowiedź

(−3)2(−3)^2 = 9, natomiast −323^2 = −9.

Zapamiętaj: Nawias decyduje, czy znak minus jest częścią podstawy potęgi.

Przykład 03

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Uprość 72√72.

Rozwiązanie i odpowiedź
  1. Zapisz 72 jako iloczyn z kwadratem liczby całkowitej: 72 = 36 · 2.
  2. Dla nieujemnych czynników: (36·2)√(36 · 2) = 36√36 · 2√2.
  3. Ponieważ 36√36 = 6, otrzymujesz 72√72 = 62√2.
Odpowiedź

62√2.

Zapamiętaj: Pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków. Na przykład (9+16)√(9 + 16) = 5, a 9√9 + 16√16 = 7.

03 · Spróbuj samodzielnie

Zadania do własnej próby

Wybierz zadanie, rozwiąż je na kartce i porównaj z opisanym rozwiązaniem. Przy każdym zadaniu znajdziesz jego źródło.

Zadania w tym dziale: 44

Działania i zastosowania ułamkówZadania: 15
  1. Dodawanie i odejmowanie ułamków — zadanie 1
  2. Dodawanie i odejmowanie ułamków — zadanie 2
  3. Mnożenie i dzielenie ułamków — zadanie 1
  4. Mnożenie i dzielenie ułamków — zadanie 2
  5. Dodawanie i odejmowanie ułamków — zadanie 3
  6. Ułamek całości w zadaniu tekstowym — zadanie 1
  7. Mnożenie i dzielenie ułamków — zadanie 3
  8. Dwie kolejne części grupy wolontariuszy — zadanie 2
  9. Ułamki między 3 a 5 — CKE maj 2024, zadanie 2Zadanie CKE
  10. Znak i porównanie dwóch ułamków — CKE maj 2024, zadanie 4Zadanie CKE
  11. Dzielenie wyrażenia z liczbą mieszaną — CKE maj 2025, zadanie 2Zadanie CKE
  12. Uzasadnienie postaci trzeciego ułamka — CKE maj 2025, zadanie 16Zadanie CKE
  13. Kolejne połowy liczby 6 — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 2Zadanie CKE
  14. Połowa trasy z jej dwóch trzecich — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 7Zadanie CKE
  15. Dwa zakupy z kolejnych pozostałych kwot — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 17Zadanie CKE
Potęgi i pierwiastkiZadania: 13
  1. Potęga potęgi i działania na potęgach — zadanie 1
  2. Potęga potęgi i działania na potęgach — zadanie 2
  3. Obliczanie pierwiastków — zadanie 1
  4. Minus i nawias przy potędze — zadanie 1
  5. Iloraz potęg jako potęga 2 — CKE maj 2025, zadanie 8Zadanie CKE
  6. Obliczanie pierwiastków — zadanie 2
  7. Potęga potęgi i działania na potęgach — zadanie 4
  8. Pierwiastek między liczbami całkowitymi — zadanie 1
  9. Dwa prawa działań na potęgach — CKE maj 2024, zadanie 7Zadanie CKE
  10. Znaki wyrażeń z pierwiastkami — CKE maj 2025, zadanie 7Zadanie CKE
  11. Iloczyn potęg i kwadrat ilorazu — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 2Zadanie CKE
  12. Porównywanie pierwiastków z4 — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 4Zadanie CKE
  13. Iloraz i iloczyn potęg 3 — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 4Zadanie CKE
Liczby i podzielnośćZadania: 3
  1. Reszta z dzielenia przez 7 — CKE maj 2025, zadanie 3Zadanie CKE
  2. Sok i ciastko w tej samej kolejce — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 16Zadanie CKE
  3. Podzielność sumy i iloczynu — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 5Zadanie CKE
Własności liczb i oś liczbowaZadania: 7
  1. Porównywanie liczb na osi — zadanie 1
  2. Zaokrąglanie liczb — zadanie 1
  3. Wspólne wielokrotności — zadanie 1
  4. Najmniejszy dzielnik pierwszy liczby — zadanie 2
  5. Podział odcinka na osi liczbowej — zadanie 2
  6. Wspólne wielokrotności — zadanie 2
  7. Liczby całkowite w przedziale — zadanie 1
Miniarkusz i diagnozaZadania: 2
  1. Odejmowanie 565/6 i 141/4
  2. Potęga potęgi podzielona przez potęgę
8 obszarów E8Zadania: 1
  1. Ułamek zwykły minus liczba dziesiętna
Liczby i oś liczbowaZadania: 3
  1. Podział osi liczbowej — CKE maj 2025, zadanie 12Zadanie CKE
  2. Nierówność zaznaczona na osi — CKE grudzień — test diagnostyczny 2024, zadanie 6Zadanie CKE
  3. Iloczyn współrzędnych z dwóch osi — CKE czerwiec — termin dodatkowy 2025, zadanie 19Zadanie CKE
Zobacz całą bazę zadań E8

Przed sprawdzeniem odpowiedzi

Na co uważać?

  • Sprawdź, czy przed dodaniem ułamków masz ten sam mianownik.
  • Najpierw wykonaj działania w nawiasach, następnie potęgi i pierwiastki, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie; działania tego samego stopnia wykonuj od lewej do prawej.
  • Nie stosuj wzoru na iloczyn potęg o tej samej podstawie do dodawania: 232^3 + 222^2 = 12, a nie 252^5.
  • Wynik a√a jest nieujemny, gdy a ≥ 0. Znak ± pojawia się przy rozwiązywaniu równania x2x^2 = a dla a > 0, a nie w wartości samego pierwiastka.

Wróć do potrzebnego tematu

Materiały do powtórki

04 · Płatny kurs E8

Kurs E8 z Angeliką

Jeśli potrzebujesz wyjaśnień na wideo do kolejnych tematów, zobacz program, darmowe lekcje i cenę kursu E8.

Zobacz program i cenę kursu E8

Zaplanuj kolejną powtórkę

Pozostałe działy E8

Wróć do pełnej mapy przygotowań

Zakres i pochodzenie materiałów

Źródła i aktualność

Wersja opracowania: .

Na egzaminie ósmoklasisty w 2027 r. obowiązuje podstawa programowa z 2024 r. Nowa podstawa z 2026 r. obejmuje od roku szkolnego 2026/2027 klasy I i IV oraz kolejne klasy tych roczników; obecna klasa VIII realizuje dotychczasową podstawę. Katalog obejmuje wszystkie 157 punktów szczegółowych z działów I–XIV klas IV–VI i I–XIV klas VII–VIII oraz 10 punktów ogólnych. Dział XV „Symetrie” klas VII–VIII może być realizowany po egzaminie; nie należy utożsamiać go z wymaganym wcześniej rozpoznawaniem osi symetrii znanych figur (IV–VI.IX.5). Podstawa przewiduje używanie kalkulatora w niektórych ćwiczeniach szkolnych, ale arkusz standardowy E8 rozwiązuje się bez kalkulatora; przyznane dostosowania określa odrębny komunikat CKE. Jest to mapa umiejętności, a nie prognoza zadań, które pojawią się w konkretnym arkuszu.

CENTRUM PRYWATNOŚCI

Wybierz, na co pozwalasz

Każda opcjonalna kategoria jest domyślnie wyłączona. Odmowa nie ogranicza dostępu do podstawowej treści strony.