Mathematyczka
Otwórz materiały Zrób własną próbę
Menu
Zrób własną próbę

SCHEMATY MATHEMATYCZKI

Powrót do treści Mathematyczki

Jak sprawdzić, czy równanie i wynik pasują do treści zadania?

W skrócie

Jak sprawdzić równanie i wynik zadania z treścią?

W schemacie „Powrót do treści Mathematyczki” sprawdzasz, co oznacza wynik, czy spełnia każdy warunek zadania i czy ma właściwą jednostkę. Podstawienie do własnego równania nie wystarcza: równanie także musi poprawnie opisywać treść, a wynik mieścić się w dopuszczalnych wartościach.

Nawet gdy równanie jest rozwiązane poprawnie, odpowiedź może nie spełniać warunków zadania. W przykładach sprawdzisz cenę jednego zeszytu i cenę książki przed obniżką o 20%.

Przejdź do kroków

Powrót do treści Mathematyczki

Jakie kroki zapamiętać?

Znaczenie wyniku → każdy warunek → odpowiedź na pytanie.

  1. Co oznacza otrzymana liczba?

    Wróć do opisu niewiadomej. Ustal, czy obliczyłeś cenę przed zmianą czy po zmianie, jedną rzecz czy całą grupę; zapisz jednostkę i warunki dopuszczalnej wartości.

  2. Czy spełnia każdy warunek z treści?

    Podstaw wynik do pierwotnych zależności, nie tylko do własnego równania. Sprawdź sumę, różnicę lub stosunek zgodnie z tekstem, a przy procencie nazwij jego podstawę.

  3. Czy odpowiada na zadane pytanie?

    Jeśli warunki są spełnione, zapisz odpowiedź pełnym zdaniem. Jeżeli obliczyłeś jedynie wielkość pomocniczą, wyznacz jeszcze to, o co pytano; przy niezgodności wróć do modelu i rachunków.

PRZYKŁADY Z ROZWIĄZANIAMI

Jak zastosować schemat w zadaniu?

Przeczytaj polecenie, a następnie prześledź obliczenia.

PRZYKŁAD 1

Cena jednego zeszytu i łączny rachunek

3 jednakowe zeszyty i długopis kosztują razem 34 zł. Długopis kosztuje 7 zł. Oblicz cenę jednego zeszytu i sprawdź ją w treści zadania.

  1. x oznacza cenę jednego zeszytu wyrażoną liczbą złotych, więc x > 0. Trzy zeszyty kosztują 3x zł, a długopis 7 zł: 3x + 7 = 34. Stąd 3x = 27 i x = 9.
  2. Wracam do rzeczy z treści: trzy zeszyty po 9 zł kosztują 27 zł, długopis kosztuje podane 7 zł, a razem jest 27 + 7 = 34 zł. Cena każdego zeszytu jest taka sama i dodatnia.
  3. Pytanie dotyczy jednego zeszytu, a nie wszystkich trzech. Odpowiadam: jeden zeszyt kosztuje 9 zł.

Odpowiedź: Jeden zeszyt kosztuje 9 zł.

Kontrola: 3 · 9 + 7 = 34 odtwarza cały rachunek. Liczba 27 opisuje cenę trzech zeszytów, więc nie jest odpowiedzią na pytanie o jeden zeszyt.

PRZYKŁAD 2

Cena przed obniżką o 20%

Po obniżeniu ceny książki o 20% jej cena wynosi 120 zł. Ile kosztowała książka przed obniżką? Sprawdź obliczony wynik.

  1. x oznacza cenę przed obniżką wyrażoną liczbą złotych, więc x > 0. Obniżka 20% to 151/5 ceny początkowej, a cena po obniżce to 454/5 tej ceny: (454/5)x = 120. Zatem x = 120 · (545/4) = 150.
  2. Sprawdzam pierwotny warunek: 20% ze 150 zł to (151/5) · 150 = 30 zł. Po odjęciu obniżki otrzymuję 150 − 30 = 120 zł, dokładnie cenę podaną w zadaniu.
  3. Pytanie dotyczy ceny przed obniżką. Odpowiadam: książka kosztowała 150 zł; jest to cena większa od końcowych 120 zł.

Odpowiedź: Przed obniżką książka kosztowała 150 zł.

Kontrola: Kwota 30 zł stanowi 20% ceny początkowej: 3015030/150 = 151/5 = 20%. Różnica 150 zł i 30 zł daje podane 120 zł.

ĆWICZENIA

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zakryj przykłady i rozwiąż zadanie na kartce. Potem porównaj swój zapis z odpowiedzią oraz kontrolą wyniku.

Zadanie 1

W klasie są 24 osoby: dziewczęta i chłopcy. Dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ile jest dziewcząt, a ilu chłopców? Sprawdź oba warunki.

Pokaż rozwiązanie zadania 1
  1. x oznacza liczbę chłopców, więc liczba dziewcząt to x + 4. x musi być liczbą całkowitą nieujemną. Z łącznej liczby uczniów otrzymuję x + (x + 4) = 24, czyli 2x = 20 i x = 10.
  2. Dziewcząt jest 10 + 4 = 14. Sprawdzam treść: 10 + 14 = 24 oraz 14 − 10 = 4; obie liczebności są całkowite i nieujemne.
  3. Pytanie dotyczy obu grup, więc podaję obie: 14 dziewcząt i 10 chłopców.

Odpowiedź: W klasie jest 14 dziewcząt i 10 chłopców.

Kontrola: Suma 14 + 10 = 24 odtwarza liczebność klasy, a różnica 14 − 10 = 4 odtwarza przewagę liczby dziewcząt.

Zadanie 2

Po podwyżce ceny kurtki o 25% jej cena wynosi 200 zł. Oblicz cenę przed podwyżką i sprawdź kwotę tej podwyżki.

Pokaż rozwiązanie zadania 2
  1. x oznacza cenę przed podwyżką wyrażoną liczbą złotych, więc x > 0. Podwyżka 25% to 141/4 ceny początkowej; cena końcowa wynosi 545/4 tej ceny: (545/4)x = 200. Stąd x = 200 · (454/5) = 160.
  2. Kwota podwyżki to (141/4) · 160 = 40 zł. Sprawdzam pierwotny warunek: 160 + 40 = 200 zł; 4016040/160 = 141/4 = 25%.
  3. Odpowiadam na pytanie o cenę początkową: kurtka kosztowała 160 zł, a podwyżka wyniosła 40 zł.

Odpowiedź: Przed podwyżką kurtka kosztowała 160 zł; kwota podwyżki wyniosła 40 zł.

Kontrola: Podwyżkę obliczyliśmy od początkowych 160 zł. Jej 25% to 40 zł, a cena po zwiększeniu wynosi podane 200 zł.

Po przerwie wróć do podobnego zadania na innych danych. Sprawdź, czy nadal rozpoznajesz warunki i potrafisz zapisać kroki.

WARUNKI STOSOWANIA

Kiedy ten schemat pomaga?

Schemat służy do kontroli liczbowej odpowiedzi w zadaniach z treścią: równaniach, cenach, liczebnościach i procentach. Sprawdzamy zgodność rozwiązania z pierwotnymi warunkami, a nie tylko poprawność rachunku w zapisanym równaniu.

  • Poprawne podstawienie do błędnie ułożonego równania nie potwierdza rozwiązania zadania. Każdy fragment modelu porównaj z warunkiem, który miał opisywać.
  • Przy procentach wskaż wielkość stanowiącą 100%. Podwyżkę lub obniżkę licz od ceny przed daną zmianą, a przy kilku zmianach aktualizuj tę podstawę.
  • Liczba uczniów lub przedmiotów musi być całkowita i nieujemna; długość oraz dodatnia cena muszą spełniać warunki konkretnego zadania. Sprawdź też, czy wynik mieści się w podanej całości.
  • Kontrola jednego wyniku nie zastępuje pełnego uzasadnienia rozwiązania ani sprawdzenia wszystkich dopuszczalnych rozwiązań. W zadaniu wymagającym ogólnego dowodu pojedynczy przykład nie dowodzi twierdzenia.

ZASADY I ŹRÓDŁA

Na jakich zasadach opiera się schemat?

Nazwa i opis kolejności są opracowaniem Mathematyczki. Własności matematyczne oraz wymagania sprawdzisz w źródłach poniżej.

POZOSTAŁE SCHEMATY

Jaki schemat przyda się dalej?

Zacznij od jednej trudności. Możesz połączyć planowanie z późniejszym sprawdzeniem odpowiedzi.

CENTRUM PRYWATNOŚCI

Wybierz, na co pozwalasz

Każda opcjonalna kategoria jest domyślnie wyłączona. Odmowa nie ogranicza dostępu do podstawowej treści strony.