SCHEMATY MATHEMATYCZKI

Siatka proporcji Mathematyczki

Jak ułożyć tabelę do zadania z proporcjonalności prostej?

W skrócie

Jak użyć tabeli w zadaniu z proporcjonalności prostej?

Jeśli warunki zadania zapewniają stały przelicznik, zapisz odpowiadające sobie wartości dwóch dodatnich wielkości w osobnych kolumnach, z jedną ustaloną jednostką w każdej kolumnie. „Siatka proporcji Mathematyczki” polega na mnożeniu lub dzieleniu obu wartości przez tę samą dodatnią liczbę przy przejściu między wierszami.

W pierwszym przykładzie przeliczysz ilość mąki z sześciu na dziesięć jednakowych porcji. W drugim obliczysz koszt siedmiu zeszytów, znając cenę czterech i wiedząc, że cena jednego zeszytu jest stała.

Przejdź do kroków

Siatka proporcji Mathematyczki

Jakie kroki zapamiętać?

Warunki → kolumny i jednostki → ten sam mnożnik.

Czy warunki zapewniają stały przelicznik?
Nazwij dwie wielkości i znajdź w treści uzasadnienie proporcjonalności prostej. Sprawdź stałą cenę lub jednakową porcję, brak opłaty stałej i brak zmiany zasad dla innej ilości.
Co oznaczają kolumny i jednostki?
W jednej kolumnie zapisuj jedną wielkość, w drugiej drugą; każdy wiersz to odpowiadająca sobie para. Zachowaj tę samą jednostkę wewnątrz każdej kolumny, a przy ułamku masy dopisz kg.
Przez co zmieniam obie wartości?
Wyznacz dodatni mnożnik przejścia między znaną i szukaną ilością albo przelicz najpierw na jedną jednostkę. Zastosuj tę samą zmianę do drugiej wielkości, a na końcu sprawdź stałość ilorazu i jednostkę odpowiedzi.

PRZYKŁADY Z ROZWIĄZANIAMI

Jak zastosować schemat w zadaniu?

Przeczytaj polecenie, a następnie prześledź obliczenia.

PRZYKŁAD 1

Mąka na dziesięć jednakowych porcji

Na 6 jednakowych porcji potrzeba $3/4$ kg mąki. Ilość mąki na jedną porcję pozostaje taka sama. Ile kilogramów mąki potrzeba na 10 takich porcji?

Odpowiadające sobie wielkości w tych samych warunkach
Liczba porcji	Masa mąki (kg)
6	$3/4$
1	$1/8$
10	$5/4$

Warunek jest podany: każda porcja wymaga tej samej ilości mąki. p oznacza liczbę porcji, a m liczbę kilogramów mąki; iloraz $m/p$ jest stały.
Pierwsza kolumna zawiera liczbę porcji, a druga masę mąki w kg. Na jedną porcję przypada ( $3/4$ ) : 6 = $1/8$ kg mąki.
Dla 10 porcji: m = 10 · ( $1/8$ ) = $5/4$ , więc potrzeba $5/4$ kg mąki. Bezpośrednio z 6 do 10 porcji stosujesz mnożnik $10/6$ = $5/3$ : ( $3/4$ ) · ( $5/3$ ) = $5/4$ .

Odpowiedź: Na 10 jednakowych porcji potrzeba dokładnie $5/4$ kg mąki.

Kontrola: W obu przypadkach masa na jedną porcję wynosi $1/8$ kg: ( $3/4$ ) : 6 = $1/8$ oraz ( $5/4$ ) : 10 = $1/8$ . To sprawdza rachunek przy podanym warunku jednakowych porcji.

PRZYKŁAD 2

Cena siedmiu zeszytów przy stałej cenie jednostkowej

4 jednakowe zeszyty kosztują 14 zł. Każdy zeszyt ma tę samą cenę; nie ma rabatu ani dodatkowej opłaty. Ile kosztuje 7 takich zeszytów?

Odpowiadające sobie wielkości w tych samych warunkach
Liczba zeszytów	Łączna cena (zł)
4	14
1	$7/2$
7	$49/2$

Stała cena jednego zeszytu i brak dodatkowych opłat uzasadniają proporcjonalność prostą. n oznacza liczbę zeszytów, a K liczbę złotych zapłaconych za wszystkie zeszyty.
W pierwszej kolumnie zapisuję liczbę zeszytów, w drugiej łączną cenę w zł. Cena jednego zeszytu wynosi 14 : 4 = $7/2$ zł, czyli dokładnie 3,50 zł.
Dla 7 zeszytów: K = 7 · ( $7/2$ ) = $49/2$ . Łączna cena to $49/2$ zł, czyli 24,50 zł; tę samą wartość daje 14 · ( $7/4$ ).

Odpowiedź: 7 zeszytów kosztuje 24,50 zł, czyli dokładnie $49/2$ zł.

Kontrola: Cena na jeden zeszyt pozostaje taka sama: 14 : 4 = $7/2$ oraz ( $49/2$ ) : 7 = $7/2$ . Zapis dziesiętny 24,50 zł jest dokładnie równy $49/2$ zł.

ĆWICZENIA

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zakryj przykłady i rozwiąż zadanie na kartce. Potem porównaj swój zapis z odpowiedzią oraz kontrolą wyniku.

Zadanie 1

Na 8 jednakowych bułek potrzeba $2/3$ kg mąki. Ilość mąki na każdą bułkę jest stała. Ile kilogramów mąki potrzeba na 12 takich bułek?

Pokaż rozwiązanie zadania 1

Jednakowa ilość mąki na bułkę uzasadnia proporcjonalność prostą. n oznacza liczbę bułek, a m liczbę kilogramów mąki.
Na jedną bułkę przypada ( $2/3$ ) : 8 = $1/12$ kg mąki. Ilości mąki zapisuję zawsze w kilogramach.
Dla 12 bułek: m = 12 · ( $1/12$ ) = 1, czyli potrzeba 1 kg mąki. Można też pomnożyć obie wartości przez $12/8$ = $3/2$ : ( $2/3$ ) · ( $3/2$ ) = 1.

Odpowiedź: Na 12 takich bułek potrzeba 1 kg mąki.

Kontrola: Masa na bułkę jest taka sama: ( $2/3$ ) : 8 = $1/12$ oraz 1 : 12 = $1/12$ kg na bułkę.

Zadanie 2

2,5 kg jabłek kosztuje 15 zł. Cena kilograma jest stała, bez rabatów i opłat dodatkowych. Ile kosztuje $7/4$ kg takich jabłek?

Pokaż rozwiązanie zadania 2

Stała cena kilograma i brak dodatkowych opłat pozwalają użyć proporcjonalności prostej. m oznacza liczbę kilogramów jabłek, a K łączną cenę wyrażoną liczbą złotych.
Zapisuję masę dokładnie: 2,5 kg = $5/2$ kg. Cena jednego kilograma wynosi 15 : ( $5/2$ ) = 6 zł za kg.
Dla masy $7/4$ kg: K = 6 · ( $7/4$ ) = $21/2$ , więc cena wynosi dokładnie $21/2$ zł, czyli 10,50 zł.

Odpowiedź: $7/4$ kg jabłek kosztuje 10,50 zł, czyli dokładnie $21/2$ zł.

Kontrola: Iloraz ceny i masy daje tę samą cenę jednostkową: 15 : ( $5/2$ ) = 6 oraz ( $21/2$ ) : ( $7/4$ ) = 6 zł za kg.

Po przerwie wróć do podobnego zadania na innych danych. Sprawdź, czy nadal rozpoznajesz warunki i potrafisz zapisać kroki.

WARUNKI STOSOWANIA

Kiedy ten schemat pomaga?

Schemat dotyczy proporcjonalności prostej dla dodatnich ilości i niezmiennych warunków: jednakowych porcji albo stałej ceny jednostkowej bez opłaty stałej. Przelicznik to iloraz odpowiadających sobie wartości; zawsze ustal jego kierunek i jednostkę.

Stały przelicznik musi wynikać z warunków zadania, np. niezmiennej ilości mąki na jednakową porcję lub stałej ceny za kilogram. Jedna znana para wartości nie wystarcza, aby samodzielnie założyć proporcjonalność dla wszystkich ilości.
Łączny koszt z dodatnią opłatą stałą nie jest wprost proporcjonalny do liczby produktów: zwiększa się część zależna od ilości, a opłata stała pozostaje taka sama. Ustal te składniki oddzielnie.
Rabat zależny od ilości, inny rozmiar porcji lub zmiana ceny jednostkowej zmienia warunki. Zgodność kilku wierszy tabeli nie zastępuje sprawdzenia reguły opisanej w treści.
Nie stosuj tego samego mnożnika do zależności odwrotnie proporcjonalnej. Nie dziel przez zero; przy liczbie porcji lub produktów uwzględnij, czy zadanie wymaga liczby całkowitej.

ZASADY I ŹRÓDŁA

Na jakich zasadach opiera się schemat?

Nazwa i opis kolejności są opracowaniem Mathematyczki. Własności matematyczne oraz wymagania sprawdzisz w źródłach poniżej.

ZPE: proporcjonalność prosta
Odczytano 10.10.2026: definicja przez stały iloraz odpowiadających sobie dodatnich wielkości oraz współczynnik proporcjonalności.
ZPE: wielkości wprost proporcjonalne
Odczytano 10.10.2026: stała cena jednostkowa, zapis wartości w tabeli i zmienianie obu odpowiadających sobie wartości tyle samo razy.
CKE: informator z matematyki od roku szkolnego 2024/2025
Odczytano 10.10.2026: opis zadań, oceniania i przykładowych rozwiązań. Informator nie wyczerpuje wymagań i nie zapowiada przyszłego arkusza; nie jest źródłem nazw poniższych schematów.

POZOSTAŁE SCHEMATY

Jaki schemat przyda się dalej?

Zacznij od jednej trudności. Możesz połączyć planowanie z późniejszym sprawdzeniem odpowiedzi.

Geometria

Trzy pytania Mathematyczki

Cel → dane i własności → związek prowadzący do wyniku.

Zobacz przykład i własną próbę →

Sprawdzenie modelu i wyniku

Powrót do treści Mathematyczki

Znaczenie wyniku → każdy warunek → odpowiedź na pytanie.

Zobacz przykład i własną próbę →

Jak ułożyć tabelę do zadania z proporcjonalności prostej?

Jak użyć tabeli w zadaniu z proporcjonalności prostej?

Jakie kroki zapamiętać?

Czy warunki zapewniają stały przelicznik?

Co oznaczają kolumny i jednostki?

Przez co zmieniam obie wartości?

Jak zastosować schemat w zadaniu?

Mąka na dziesięć jednakowych porcji

Cena siedmiu zeszytów przy stałej cenie jednostkowej

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1

Zadanie 2

Kiedy ten schemat pomaga?

Na jakich zasadach opiera się schemat?

Jaki schemat przyda się dalej?

Trzy pytania Mathematyczki

Powrót do treści Mathematyczki

Wybierz ustawienia prywatności.

Wybierz, na co pozwalasz

Czy warunki zapewniają stały przelicznik?

Co oznaczają kolumny i jednostki?

Przez co zmieniam obie wartości?

Mąka na dziesięć jednakowych porcji

Cena siedmiu zeszytów przy stałej cenie jednostkowej

Zadanie 1

Zadanie 2

Trzy pytania Mathematyczki →

Powrót do treści Mathematyczki →

Trzy pytania Mathematyczki

Powrót do treści Mathematyczki