Mathematyczka
Otwórz materiały Program i cena matury
Menu
Program i cena matury
Matura podstawowa · Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny: wzory, zadania i pełne rozwiązania

W skrócie

Co wyróżnia ciąg arytmetyczny?

W ciągu arytmetycznym różnica między każdym wyrazem a poprzednim jest stała i wynosi r. Dla dodatniego całkowitego numeru n korzystasz z ana_n = a1a_1 + (n − 1)r, rozróżniając numer wyrazu n od jego wartości ana_n.

W ciągu arytmetycznym przechodzisz do kolejnego wyrazu, dodając tę samą liczbę. Prześledź przykłady wyznaczania wyrazu i sumy, a potem rozwiąż 10 zadań. Pełne rozwiązania pozwolą sprawdzić obliczenia i dobór wzoru.

Czas pracy
12 minut + zadania we własnym tempie
Opracowanie
Mathematyczka
Stan źródeł
10 października 2026
Pobierz kartę pracy (PDF) Przejdź do zadań
DO PRACY NA KARTCE

Pobierz kartę pracy i rozwiązania

Nowa karta pracy z 10 października 2026 r. zawiera zadania i osobną część z rozwiązaniami. Wydrukuj zadania do własnej próby, a odpowiedzi odłóż na później.

ZACZNIJ OD OZNACZEŃ

Jak odróżnić numer wyrazu ciągu od jego wartości?

W zapisie ana_n symbol n jest numerem wyrazu, a ana_n jego wartością. Użyj podanego wzoru lub zależności między wyrazami i zachowaj dziedzinę numerów, zwykle dodatnie liczby całkowite.

Ciąg to liczby ustawione w określonej kolejności. W tym poradniku numerujemy wyrazy od 1. Zapis n ∈ ℕ⁺ oznacza, że n należy do zbioru dodatnich liczb całkowitych: 1; 2; 3; … Symbol n jest numerem wyrazu, więc nie może być ujemny ani ułamkowy. Sama wartość wyrazu może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Na przykład w czterowyrazowym ciągu 3; 7; 11; 15 trzeci wyraz ma wartość 11. Zapisujesz a3a₃ = 11: indeks 3 mówi o miejscu, a liczba 11 jest wartością na tym miejscu. Suma trzech pierwszych wyrazów to S3S₃ = 3 + 7 + 11 = 21.

Wzór: a1a₁ Pierwszy wyraz ciągu, czyli wartość na miejscu 1.
Wzór: ana_n Wyraz o numerze n; indeks wskazuje miejsce w ciągu.
Wzór: r Stała różnica: od następnego wyrazu odejmujesz poprzedni.
Wzór: SnS_n = a1a₁ + a2a₂ + … + ana_n Suma pierwszych n wyrazów. W szczególności S1S₁ = a1a₁.
DEFINICJA I ZNAK

Co oznacza stała różnica ciągu arytmetycznego?

W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby r do poprzedniego. Dla r > 0 ciąg rośnie, dla r < 0 maleje, a dla r = 0 jest stały; stała różnica musi dotyczyć wszystkich kolejnych wyrazów ciągu.

W ciągu arytmetycznym za każdym razem dodajesz tę samą liczbę r. Obliczając różnicę, zachowaj kolejność: następny wyraz minus poprzedni. Dla 3; 7; 11; 15 dostajesz 7 − 3 = 4, 11 − 7 = 4 oraz 15 − 11 = 4.

Gdy r > 0, ciąg jest rosnący. Gdy r < 0, jest malejący. Gdy r = 0, jest stały. Różnica może być ułamkiem, a wyrazy mogą być ujemne. Dla 2; −1; −4; −7 różnica wynosi −3. Dla 5; 5; 5; 5 wynosi 0.

Równe różnice w kilku początkowych wyrazach nie wystarczą do dowodu o całym nieskończonym ciągu. Jeśli podano wzór dla każdego n ≥ 1, sprawdź różnicę dla dowolnych dwóch kolejnych wyrazów. Przykład takiego uzasadnienia znajdziesz w zadaniu 3.

Wzór: r = a2a₂ − a1a₁ = a3a₃ − a2a₂ = … Każda kolejna różnica musi mieć tę samą wartość.
WYRAZ O NUMERZE n

Dlaczego we wzorze ciągu arytmetycznego występuje n − 1?

Od pierwszego do n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego wykonujesz n − 1 przejść, każde ze zmianą o r. Stąd ana_n = a1a_1 + (n − 1)r dla dodatniego całkowitego n.

Od pierwszego wyrazu do drugiego wykonujesz jedno przejście, do trzeciego dwa, a do wyrazu o numerze n dokładnie n − 1 przejść. Za każdym razem dodajesz r. Stąd wzór ogólny ana_n = a1a₁ + (n − 1) · r.

Sprawdź wzór dla n = 1: otrzymasz a1a₁ + 0 · r = a1a₁. To szybka kontrola, czy przypadkiem nie dopisano jednego przejścia za dużo. Dla a1a₁ = 4 i r = 3 siódmy wyraz wynosi a7a₇ = 4 + 6 · 3 = 22.

Jeśli znasz już wzór, możesz szukać numeru wyrazu. Dla tego samego ciągu pytanie o wyraz równy 22 prowadzi do równania 4 + 3(n − 1) = 22. Otrzymujesz n = 7, czyli dodatnią liczbę całkowitą. Wynik spełnia warunek na indeks.

Wzór: ana_n = a1a₁ + (n − 1) · r Wzór ogólny dla każdego dodatniego całkowitego n.
Wzór: ana_n = r · n + (a1a₁ − r) Ta sama zależność po rozłożeniu nawiasu.
BRAKUJĄCE a₁ I r

Jak wyznaczyć różnicę ciągu z dwóch jego wyrazów?

Dla różnych numerów k i m wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi aka_k − ama_m = (k − m)r. Podziel różnicę wartości wyrazów przez różnicę ich numerów, zachowując tę samą kolejność w liczniku i mianowniku.

Jeśli znasz dwa wyrazy arytmetycznego ciągu, odległość między ich indeksami mówi, ile razy dodano r. Dla a4a₄ = 8 i a10a₁₀ = 26 między miejscami 4 i 10 jest 10 − 4 = 6 przejść, więc 26 − 8 = 6r. Stąd r = 3.

Teraz wróć do pierwszego wyrazu. Skoro a4a₄ = a1a₁ + 3r, to 8 = a1a₁ + 9, czyli a1a₁ = −1. Wzór ogólny ma postać ana_n = −1 + 3(n − 1). Podstawienie n = 4 i n = 10 odtwarza obie podane wartości: 8 i 26.

Wzór: r = (aj−ai)(j−i)(a_j − a_i)/(j − i) Dla różnych dodatnich całkowitych indeksów i oraz j. W liczniku i mianowniku odejmuj w tej samej kolejności.
Wzór: a1a₁ = aia_i − (i − 1) · r Z wyrazu na miejscu i cofasz się o i − 1 przejść.
WARUNEK NA PARAMETR

Jak rozpoznać trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego?

Dla trzech kolejnych wyrazów w podanej kolejności wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną skrajnych. Równoważnie dwukrotność środkowego wyrazu równa się sumie skrajnych, co zapisuje warunek równych różnic.

Jeśli trzy liczby są podane jako kolejne wyrazy w tej kolejności, wyrównaj dwie różnice. Dla wyrazów a1a₁; a2a₂; a3a₃ zapisujesz a2a₂ − a1a₁ = a3a₃ − a2a₂. Po przeniesieniu składników dostajesz 2a2a₂ = a1a₁ + a3a₃.

Możesz użyć tego warunku, gdy we wzorach wyrazów występuje parametr. Po wyznaczeniu parametru oblicz wszystkie trzy liczby i ponownie sprawdź dwie różnice. Średnia dwóch dowolnie wybranych wyrazów nie jest automatycznie kolejnym wyrazem: tutaj potrzebujemy trzech sąsiednich miejsc.

Wzór: a2a₂ = (a1+a3)2(a₁ + a₃)/2 Warunek dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.
DODAWANIE WYRAZÓW

Jak obliczyć sumę pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego?

Dla dodatniego całkowitego n suma pierwszych n wyrazów wynosi SnS_n = n(a1a_1 + ana_n)/2. Pomnóż liczbę wyrazów przez średnią pierwszego i ostatniego, sprawdzając, czy ana_n jest ostatnim wyrazem sumowanego fragmentu.

Przy sumowaniu pierwszych n wyrazów potrzebujesz ich liczby, pierwszego wyrazu i ostatniego z sumowanych. Średnia wartości a1a₁ oraz ana_n, pomnożona przez n, daje sumę. Wzór działa także przy nieparzystym n, ujemnej różnicy i ujemnych wyrazach.

Dlaczego to działa? Zapisz tę samą sumę dwa razy: raz od pierwszego wyrazu do ostatniego, a raz w odwrotnej kolejności. Gdy dodasz te dwa zapisy miejscami, każda z n par ma sumę a1a₁ + ana_n. Otrzymujesz 2 · SnS_n = n · (a1a₁ + ana_n), więc dzielisz przez 2.

Jeśli ostatni wyraz nie jest podany, najpierw oblicz go ze wzoru ogólnego. Dla a1a₁ = 4, r = 3 i n = 8 mamy a8a₈ = 4 + 7 · 3 = 25 oraz S8S₈ = (4+25)2(4 + 25)/2 · 8 = 116. Liczba 25 jest jednym wyrazem, a 116 sumą ośmiu wyrazów.

Wzór: SnS_n = (a1+an)2(a₁ + a_n)/2 · n Średnia pierwszego i ostatniego wyrazu razy liczba wyrazów.
Wzór: SnS_n = a1a₁ · n + r · n · (n−1)2(n − 1)/2 Równoważna postać po podstawieniu wzoru na ana_n i rozłożeniu nawiasów. Przydaje się, gdy znasz a1a₁ i r.
MODEL Z TREŚCI

Kiedy w zadaniu o ciągu potrzebny jest wyraz, a kiedy suma?

Pytanie o wartość na konkretnym etapie dotyczy wyrazu ana_n, a pytanie o łączną wartość wielu etapów sumy SnS_n. Ustal numer pierwszego i ostatniego etapu oraz liczbę uwzględnianych wyrazów przed podstawieniem do wzoru.

  1. Nazwij wielkość

    W rzędach ana_n może oznaczać liczbę miejsc w rzędzie n. Przy wpłatach może oznaczać kwotę jednej wpłaty w tygodniu n. Zapisz tę informację obok danych.

  2. Sprawdź stałą zmianę

    Sformułowanie „o 2 więcej” oznacza dodawanie 2, czyli różnicę r = 2. Sformułowanie „dwa razy więcej” oznacza mnożenie i samo nie daje ciągu arytmetycznego.

  3. Oddziel wyraz od sumy

    Kwota wpłacona w jednym tygodniu to ana_n. Łączna kwota po n wpłatach to SnS_n, przy założeniach o początkowym stanie, odsetkach i wypłatach podanych w zadaniu.

  4. Sprawdź indeks i jednostkę

    Liczba rzędów lub pełnych tygodni musi być dodatnią liczbą całkowitą. Przy pytaniu „co najmniej” sprawdź także poprzedni indeks. Na końcu dopisz właściwą jednostkę.

ZADANIA 1–5

Różnica, wzór i brakujące dane

Najpierw spróbuj samodzielnie. Przy każdym zadaniu zapisz dane oraz warunek, z którego korzystasz. W karcie pracy zadania i rozwiązania są w osobnych częściach.

  1. Sprawdź, które z trzech podanych czterowyrazowych ciągów są arytmetyczne: A: 5; 2; −1; −4. B: 3; 6; 12; 24. C: 737/3; 737/3; 737/3; 737/3. Dla każdego arytmetycznego ciągu podaj różnicę i określ, czy jest rosnący, malejący czy stały.Otwórz zadanie i rozwiązanie
  2. W ciągu arytmetycznym a1a₁ = −2 i r = 343/4. Wypisz cztery pierwsze wyrazy i oblicz a9a₉.Otwórz zadanie i rozwiązanie
  3. Ciąg jest określony wzorem ana_n = 11 − 2n dla każdego dodatniego całkowitego n. Wykaż, że jest arytmetyczny, i podaj a1a₁ oraz r. Który wyraz ma wartość −15? Czy 0 jest wyrazem tego ciągu? Uzasadnij odpowiedź.Otwórz zadanie i rozwiązanie
  4. W ciągu arytmetycznym a3a₃ = 727/2 i a9a₉ = −112−11/2. Wyznacz r i a1a₁, a następnie zapisz wzór ogólny ana_n.Otwórz zadanie i rozwiązanie
  5. Liczby 2x − 1; x + 5; 3x − 3 są w podanej kolejności trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz x, oblicz te trzy wyrazy i podaj różnicę r.Otwórz zadanie i rozwiązanie
Sprawdź odpowiedzi dopiero po własnej próbie
  1. A: różnice wynoszą 2 − 5 = −3, −1 − 2 = −3 oraz −4 − (−1) = −3. Ciąg A jest arytmetyczny o r = −3 i jest malejący. B: kolejne różnice to 3; 6; 12. Nie są równe, więc ciąg B nie jest arytmetyczny. C: każda różnica to 737/3 − 737/3 = 0. Ciąg C jest arytmetyczny o r = 0 i jest stały. Sprawdziliśmy wszystkie różnice w podanych skończonych ciągach.
  2. Każdy kolejny wyraz otrzymujesz, dodając 343/4. a1a₁ = −2 = −84−8/4; a2a₂ = −84−8/4 + 343/4 = −54−5/4; a3a₃ = −54−5/4 + 343/4 = −12−1/2; a4a₄ = −12−1/2 + 343/4 = 141/4. Od pierwszego do dziewiątego wyrazu jest osiem przejść, więc a9a₉ = −2 + 8 · 343/4 = −2 + 6 = 4. Pierwsze cztery wyrazy to −2; −54−5/4; −12−1/2; 141/4, a a9a₉ = 4.
  3. Dla dowolnego n ≥ 1 kolejny wyraz ma wartość 11 − 2(n + 1). Różnica kolejnego i poprzedniego wyrazu wynosi 11 − 2(n + 1) − (11 − 2n) = −2. Nie zależy od n, więc ciąg jest arytmetyczny o r = −2. a1a₁ = 11 − 2 · 1 = 9. Z równania 11 − 2n = −15 otrzymujemy −2n = −26, czyli n = 13. Sprawdzenie: a13a₁₃ = 11 − 26 = −15. Natomiast 11 − 2n = 0 daje n = 11211/2. To nie jest liczba całkowita, więc 0 nie jest wyrazem ciągu.
  4. Od miejsca 3 do miejsca 9 wykonujemy sześć przejść: a9a₉ − a3a₃ = 6r. Mamy −112−11/2 − 727/2 = −9, więc 6r = −9 i r = −32−3/2. Ponieważ a3a₃ = a1a₁ + 2r, otrzymujemy a1a₁ = 727/2 − 2 · (−32−3/2) = 13213/2. Wzór ogólny: ana_n = 13213/2 − (n − 1) · 323/2. Dla n = 3 daje 13213/2 − 3 = 727/2, a dla n = 9 daje 13213/2 − 12 = −112−11/2, zgodnie z danymi.
  5. Zrównujemy dwie różnice: (x + 5) − (2x − 1) = (3x − 3) − (x + 5). Po uproszczeniu −x + 6 = 2x − 8, więc 3x = 14 i x = 14314/3. Kolejne wyrazy mają wartości 2 · 14314/3 − 1 = 25325/3; 14314/3 + 5 = 29329/3; 3 · 14314/3 − 3 = 11. Sprawdzamy obie różnice: 29329/3 − 25325/3 = 434/3 oraz 11 − 29329/3 = 434/3. Zatem r = 434/3.
ZADANIA 6–10

Sumy i przełożenie treści na wzór

Przed sumowaniem zaznacz pierwszy i ostatni wyraz oraz liczbę wyrazów. W zadaniach 7 i 10 szukasz numeru, więc na końcu sprawdź jego dopuszczalną wartość.

  1. W ciągu arytmetycznym a1a₁ = 5 i r = −2. Oblicz a12a₁₂ oraz sumę S12S₁₂ pierwszych dwunastu wyrazów.Otwórz zadanie i rozwiązanie
  2. Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz a1a₁ = 3 i różnicę r = 2. Suma jego pierwszych n wyrazów wynosi 120. Wyznacz dodatnią całkowitą liczbę n i sprawdź wynik.Otwórz zadanie i rozwiązanie
  3. W ciągu arytmetycznym suma pięciu pierwszych wyrazów wynosi S5S₅ = 40, a suma dziesięciu pierwszych wyrazów wynosi S10S₁₀ = 155. Wyznacz a1a₁, r i a8a₈.Otwórz zadanie i rozwiązanie
  4. Widownia ma 12 rzędów. W pierwszym rzędzie jest 18 miejsc, a w każdym następnym o 2 miejsca więcej niż w poprzednim. Ile miejsc jest w dwunastym rzędzie? Ile miejsc jest łącznie na całej widowni?Otwórz zadanie i rozwiązanie
  5. Ola zaczyna odkładanie pieniędzy od 0 zł. Pod koniec pierwszego tygodnia odkłada 12 zł, a pod koniec każdego następnego tygodnia o 3 zł więcej niż tydzień wcześniej. Nie wypłaca pieniędzy i nie otrzymuje odsetek. Po ilu pełnych tygodniach po raz pierwszy będzie miała co najmniej 200 zł? Podaj także kwotę zgromadzoną wtedy.Otwórz zadanie i rozwiązanie
Sprawdź odpowiedzi dopiero po własnej próbie
  1. a12a₁₂ = 5 + 11 · (−2) = −17. Suma pierwszych dwunastu wyrazów wynosi S12S₁₂ = (5−17)2(5 − 17)/2 · 12 = −6 · 12 = −72. Kontrola przez pary: pierwszy i dwunasty wyraz sumują się do −12; drugi i jedenasty również do −12. Takich rozłącznych par jest sześć, więc suma to 6 · (−12) = −72.
  2. Najpierw ana_n = 3 + 2(n − 1) = 2n + 1. Stąd SnS_n = (3+2n+1)2(3 + 2n + 1)/2 · n = n(n + 2). Równanie n(n + 2) = 120 daje n2n² + 2n − 120 = 0, czyli (n − 10)(n + 12) = 0. Otrzymujemy n = 10 albo n = −12. Odrzucamy −12, bo liczba wyrazów musi być dodatnia. Dla n = 10 ostatni wyraz to a10a₁₀ = 21, a S10S₁₀ = (3+21)2(3 + 21)/2 · 10 = 120. Odpowiedź: n = 10.
  3. a5a₅ = a1a₁ + 4r, więc S5S₅ = (2a1+4r)2(2a₁ + 4r)/2 · 5 = 40. Po pomnożeniu przez 2 i podzieleniu przez 5 otrzymujemy 2a1a₁ + 4r = 16. Podobnie a10a₁₀ = a1a₁ + 9r oraz S10S₁₀ = (2a1+9r)2(2a₁ + 9r)/2 · 10 = 155, stąd 2a1a₁ + 9r = 31. Odejmując pierwsze równanie od drugiego, mamy 5r = 15, czyli r = 3. Następnie 2a1a₁ + 12 = 16, więc a1a₁ = 2. a8a₈ = 2 + 7 · 3 = 23. Kontrola: a5a₅ = 14 daje S5S₅ = (2+14)2(2 + 14)/2 · 5 = 40; a10a₁₀ = 29 daje S10S₁₀ = (2+29)2(2 + 29)/2 · 10 = 155.
  4. Liczba miejsc w rzędzie n to ana_n. a1a₁ = 18, r = 2 i n = 12, zatem a12a₁₂ = 18 + 11 · 2 = 40. W dwunastym rzędzie jest 40 miejsc. Łączna liczba miejsc to suma dwunastu wyrazów: S12S₁₂ = (18+40)2(18 + 40)/2 · 12 = 29 · 12 = 348. Kontrola: sześć par rzędów ma po 58 miejsc, co daje 6 · 58 = 348 miejsc na całej widowni.
  5. ana_n oznacza kwotę jednej wpłaty w tygodniu n, więc ana_n = 12 + 3(n − 1). SnS_n oznacza zgromadzoną kwotę po n wpłatach. Ze wzoru na sumę po uproszczeniu otrzymujemy SnS_n = n · (3n+21)2(3n + 21)/2. Po ósmym tygodniu a8a₈ = 33 zł i S8S₈ = (12+33)2(12 + 33)/2 · 8 = 180 zł. Po dziewiątym tygodniu a9a₉ = 36 zł i S9S₉ = (12+36)2(12 + 36)/2 · 9 = 216 zł. Każda wpłata jest dodatnia, więc zgromadzona kwota rośnie. Skoro po ośmiu tygodniach jest mniej niż 200 zł, a po dziewięciu co najmniej 200 zł, pierwszy taki moment następuje po 9 pełnych tygodniach. Ola ma wtedy 216 zł.
PRZED ODDANIEM PRACY

Pięć pytań kontrolnych

Jeśli pojawił się błąd w zadaniach 1–3, wróć do różnicy i znaczenia indeksu. Po zadaniach 4–5 sprawdź liczbę przejść i równość dwóch różnic. Po zadaniach 6–10 zapisz osobno wzór na wyraz i wzór na sumę. Następnie rozwiąż ponownie zadanie, w którym wcześniej był błąd, bez zaglądania do odpowiedzi.

  • Czy odejmuję następny wyraz minus poprzedni, zachowując znak r?
  • Czy między miejscami i oraz j liczę j − i przejść?
  • Czy odróżniam jeden wyraz ana_n od sumy SnS_n?
  • Czy wyznaczony indeks jest dodatnią liczbą całkowitą?
  • Czy podstawienie do danych potwierdza wynik, a odpowiedź ma jednostkę?
WYJAŚNIENIA

Pytania i odpowiedzi

Jak rozpoznać ciąg arytmetyczny?

Odejmuj każdy wyraz od następnego. Wszystkie kolejne różnice muszą być równe. Dla skończonego ciągu sprawdź wszystkie takie różnice; dla wzoru określającego nieskończony ciąg wykaż, że różnica nie zależy od numeru wyrazu.

Czy różnica ciągu może być ujemna, ułamkowa albo równa 0?

Tak. Ujemna różnica oznacza ciąg malejący, dodatnia rosnący, a różnica 0 ciąg stały. Nie ma warunku, że r musi być liczbą całkowitą. Na przykład w zadaniu 2 różnica wynosi 343/4.

Dlaczego we wzorze ogólnym jest n − 1, a nie n?

Pierwszy wyraz już masz. Od niego do wyrazu o numerze n przechodzisz n − 1 razy. Dlatego ana_n = a1a₁ + (n − 1) · r. Dla n = 1 wzór musi zwrócić pierwszy wyraz bez dodawania r.

Jak obliczyć różnicę, gdy znam dwa niekolejne wyrazy?

Podziel różnicę wartości przez różnicę ich indeksów: r = (aj−ai)(j−i)(a_j − a_i)/(j − i), dla i ≠ j. W liczniku i mianowniku zachowaj tę samą kolejność odejmowania. Między trzecim a dziewiątym wyrazem jest sześć przejść, dlatego dzielisz przez 6.

Jak obliczyć sumę pierwszych n wyrazów?

Skorzystaj ze wzoru SnS_n = (a1+an)2(a₁ + a_n)/2 · n. Jeśli nie znasz ostatniego wyrazu, oblicz go najpierw z ana_n = a1a₁ + (n − 1) · r. Sprawdź, że n oznacza liczbę sumowanych wyrazów, a nie wartość ostatniego z nich.

Czy rozwiązaniem zadania może być ułamkowe n?

W tym poradniku indeksy to dodatnie liczby całkowite. Jeśli równanie daje ułamkowe n, taka liczba nie wskazuje wyrazu ciągu. W zadaniu 3 równanie dla wartości 0 daje n = 11211/2, dlatego 0 nie jest wyrazem tego ciągu. Wyrazy i różnica mogą natomiast mieć wartości ułamkowe.

Czy mogę pobrać zadania i rozwiązania w PDF?

Karta pracy zawiera te same 10 autorskich zadań. Zadania i pełne rozwiązania są w osobnych częściach, żeby można było najpierw policzyć samodzielnie. To nowa edycja z 10 października 2026 r.

ŹRÓDŁA

Materiały źródłowe

Informacje o zakresie i organizacji egzaminu znajdziesz w dokumentach CKE.

PŁATNE MATERIAŁY · Matura podstawowa

Ciągi w kursie do matury podstawowej

Jeśli trudno było wybrać wzór albo ułożyć równanie z treści, zobacz lekcje Angeliki w kursie maturalnym. Na stronie oferty sprawdzisz program, cenę i warunki dostępu.

Zobacz kurs maturalny — program i cenę
Darmowe materiały

Darmowe materiały do matury 2027: plan dla Formuły 2023

Nie potrzebujesz kolejnego folderu z dwudziestoma PDF-ami. Potrzebujesz jednego aktualnego źródła, jednego arkusza i decyzji, co zrobisz po pierwszym błędzie. Poniżej masz kolejność, która zamienia pobieranie w naukę.

Checklista maturalna 2027

Checklista maturalna 2027: tematy do powtórki

Zacznij od podstaw, a potem wybierz dział, który wymaga własnej próby. Poniżej masz pełną treść checklisty Angeliki do matury podstawowej 2027, z tematami uporządkowanymi według działów.

Zobacz wszystkie poradniki
CENTRUM PRYWATNOŚCI

Wybierz, na co pozwalasz

Każda opcjonalna kategoria jest domyślnie wyłączona. Odmowa nie ogranicza dostępu do podstawowej treści strony.