Funkcja kwadratowa na maturze: jedna parabola, trzy postacie wzoru
Nie ucz się trzech postaci funkcji kwadratowej jak trzech osobnych tematów. To trzy sposoby opisania tej samej paraboli. Każdy pokazuje inną informację od razu — i właśnie dlatego warto umieć wybrać właściwy.
Wybierz postać na podstawie tego, czego szukasz
Współczynnik a w każdej postaci jest ten sam. Gdy a > 0, ramiona paraboli są skierowane w górę; gdy a < 0 — w dół. Wartość |a| decyduje o szerokości: im większe |a|, tym węższa parabola.
Nie przekształcaj wzoru automatycznie. Jeśli pytanie dotyczy miejsc zerowych, postać iloczynowa może zakończyć zadanie w jednym wierszu. W całej dziedzinie ℝ maksimum lub minimum odczytasz z wierzchołka. Na przedziale domkniętym porównaj też oba końce.
Zbadaj f(x) = −2(x + 1)(x − 5)
Zaczynamy od postaci iloczynowej, więc wykorzystaj informacje, które już są widoczne. Nie rozwijaj nawiasów w pierwszym ruchu.
-
Odczytaj miejsca zerowe
x₁ = −1 oraz x₂ = 5.
-
Znajdź oś symetrii
Leży w połowie między miejscami zerowymi: p = (−1 + 5) : 2 = 2.
-
Policz drugą współrzędną wierzchołka
q = f(2) = −2 · 3 · (−3) = 18, więc W = (2, 18).
-
Zapisz postać kanoniczną
f(x) = −2(x − 2)² + 18.
-
Rozwiń do postaci ogólnej
f(x) = −2(x² − 4x + 4) + 18 = −2x² + 8x + 10.
-
Odczytaj maksimum
Ponieważ a < 0, w całej dziedzinie ℝ funkcja ma maksimum równe 18 dla x = 2.
Miejsca zerowe: −1 i 5; oś: x = 2; wierzchołek: (2, 18); postać kanoniczna: −2(x − 2)² + 18; ogólna: −2x² + 8x + 10.
Pięć pytań, które skracają rozwiązanie
- Miejsca zerowe? Najpierw spójrz na postać iloczynową.
- Wierzchołek lub ekstremum w całej dziedzinie? Szukaj postaci kanonicznej.
- Punkt przecięcia z osią OY? W postaci ogólnej jest nim (0, c).
- Wzór z wykresu? Zapisz postać zgodną z podanymi punktami i wyznacz a.
- Wartość na przedziale? Sprawdź wierzchołek, jeśli leży w przedziale, oraz oba końce.
Sprawdź, czy potrafisz zmienić perspektywę
- Dla g(x) = x² − 6x + 5 wyznacz miejsca zerowe, wierzchołek i postać kanoniczną.
- Funkcja h ma miejsca zerowe −2 i 4, a jej wykres przechodzi przez punkt (0, 8). Wyznacz wzór h w postaci iloczynowej.
Sprawdź odpowiedzi dopiero po własnej próbie
- g(x) = (x − 1)(x − 5), więc x₁ = 1, x₂ = 5, W = (3, −4), a g(x) = (x − 3)² − 4.
- h(x) = a(x + 2)(x − 4). Z warunku h(0) = 8: −8a = 8, więc a = −1 i h(x) = −(x + 2)(x − 4).
Materiały źródłowe
Informacje o zakresie i organizacji egzaminu znajdziesz w dokumentach CKE.
- ZPE: podstawa programowa matematyki dla liceum i technikum oficjalny zakres podstawowy i rozszerzony
- CKE: Informator Formuły 2023 — matematyka, poziom podstawowy opis arkusza i przykładowe zadania od roku szkolnego 2024/2025
- CKE: Wybrane wzory matematyczne do Formuły 2023 oficjalna karta wzorów do Formuły 2023
Potrzebujesz przejść tak przez cały zakres podstawowy?
W programie kursu maturalnego zobaczysz, które lekcje, przykłady i arkusze prowadzą od podstaw do samodzielnego rozwiązania.