Wartość bezwzględna: zadania, rozwiązania i odległość na osi

Nowa karta pracy z 10 października 2026 r. zawiera zadania i osobną część z rozwiązaniami. Wydrukuj zadania do własnej próby, a odpowiedzi odłóż na później.

• Pobierz kartę pracy z rozwiązaniami (PDF)

  Autorska karta pracy · nowa edycja 10.10.2026 · 5 str. · 348 kB · zadania i pełne rozwiązania

Liczby −7 i 7 leżą po przeciwnych stronach zera, lecz obie dzieli od niego siedem jednostek. Dlatego $\left|\mathrm{-7}\right|$ = 7 i $\left|7\right|$ = 7. Nie zmieniasz położenia liczby na osi: obliczasz jej odległość od zera.

Najpierw wykonaj działania wewnątrz kresek. Na przykład $\left|3-8\right|$ = $\left|\mathrm{-5}\right|$ = 5, ale $\left|3\right|$ − $\left|8\right|$ = 3 − 8 = −5. Rozdzielenie wartości bezwzględnej na dwa składniki zmienia wyrażenie.

Szukasz punktów odległych od liczby 3 o pięć jednostek. Jeden leży pięć w lewo, drugi pięć w prawo. Rysunek osi pozwala przewidzieć odpowiedź jeszcze przed przekształceniami.

1. 01

   Zapisz dwa przypadki

   x − 3 = 5 lub x − 3 = −5.

2. 02

   Rozwiąż równania

   Z pierwszego: x = 8. Z drugiego: x = −2.

3. 03

   Podstaw do zadania

   Dla x = 8: $\left|8-3\right|$ = 5. Dla x = −2: $\left|\mathrm{-2}-3\right|$ = $\left|\mathrm{-5}\right|$ = 5.

W $\left|x+4\right|$ = 0 odległość od liczby −4 ma wynosić zero. Tylko x = −4 spełnia ten warunek. W $\left|x+4\right|$ = −2 nie ma rozwiązania, bo odległość nie może wynosić −2.

Jeżeli przed modułem stoi liczba, najpierw go wyodrębnij. Z 2$\left|x-1\right|$ + 3 = 11 dostajesz 2$\left|x-1\right|$ = 8, a następnie $\left|x-1\right|$ = 4. Stąd x = −3 lub x = 5. Nie rozdzielaj na przypadki przed odjęciem 3 i podzieleniem przez 2.

• Policz wyrażenie pod kreskami, jeśli nie ma w nim niewiadomej.
• Wyodrębnij wartość bezwzględną po jednej stronie równania.
• Sprawdź, czy po drugiej stronie jest liczba dodatnia, zero czy liczba ujemna.
• Przy dodatniej odległości zapisz dwa przypadki i podstaw oba wyniki.

Zapisz obliczenia na kartce. W zadaniach 2–6 podaj zbiór rozwiązań, także wtedy, gdy jest pusty. Odpowiedzi otwórz po własnej próbie.

1. Oblicz $\left|\mathrm{-8}\right|$ − $\left|3-10\right|$.
2. Rozwiąż $\left|x-4\right|$ = 6.
3. Rozwiąż $\left|x+2\right|$ = 3.
4. Rozwiąż 3$\left|x-2\right|$ − 6 = 9.
5. Rozwiąż $\left|2x-6\right|$ = 0.
6. Rozwiąż $\left|x+7\right|$ = −1.

W $\left|x-2\right|$ ≤ 3 szukasz liczb odległych od 2 najwyżej o 3. Najbliższe granice to −1 i 5, a rozwiązaniem jest cały przedział [−1, 5]. Końce należą do rozwiązania, bo znak ≤ dopuszcza odległość równą 3.

W $\left|x-2\right|$ > 3 zostają punkty dalej niż te granice: x < −1 lub x > 5. Zbiór rozwiązań to (−∞, −1) ∪ (5, ∞). Przy nieskończoności zawsze używasz nawiasu okrągłego.

1. Rozwiąż $\left|x+1\right|$ < 4.
2. Rozwiąż $\left|x-3\right|$ ≥ 2.
3. Czy $\left|x\right|$ ≤ −2 ma rozwiązanie? Uzasadnij.